Precalcolo Esempi

${(3 (\cos (27 °) + i \sin (27 °)))}^{5}$

Passaggio 1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Calcola $\cos (27 °)$ .

${(3 (0.89100652 + i \sin (27 °)))}^{5}$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\sin (27 °)$ .

${(3 (0.89100652 + i \cdot 0.45399049))}^{5}$

Passaggio 1.1.3

Sposta $0.45399049$ alla sinistra di $i$ .

${(3 (0.89100652 + 0.45399049 i))}^{5}$

Passaggio 1.2

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

${(3 \cdot 0.89100652 + 3 (0.45399049 i))}^{5}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica $3$ per $0.89100652$ .

${(2.67301957 + 3 (0.45399049 i))}^{5}$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica $0.45399049$ per $3$ .

${(2.67301957 + 1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 2

Usa il teorema binomiale.

${2.67301957}^{5} + 5 \cdot {2.67301957}^{4} (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Eleva $2.67301957$ alla potenza di $5$ .

$136.46167381 + 5 \cdot {2.67301957}^{4} (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.2

Eleva $2.67301957$ alla potenza di $4$ .

$136.46167381 + 5 \cdot 51.05150564 (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $5$ per $51.05150564$ .

$136.46167381 + 255.25752824 (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $1.36197149$ per $255.25752824$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.5

Eleva $2.67301957$ alla potenza di $3$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 10 \cdot 19.09881475 {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $10$ per $19.09881475$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.7

Applica la regola del prodotto a $1.36197149 i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 ({1.36197149}^{2} i^{2}) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.8

Eleva $1.36197149$ alla potenza di $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 (1.85496636 i^{2}) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.9

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 (1.85496636 \cdot - 1) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.10

Moltiplica $190.98814753 (1.85496636 \cdot - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.10.1

Moltiplica $1.85496636$ per $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 \cdot - 1.85496636 + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.10.2

Moltiplica $190.98814753$ per $- 1.85496636$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.11

Eleva $2.67301957$ alla potenza di $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 10 \cdot 7.14503363 {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.12

Moltiplica $10$ per $7.14503363$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.13

Applica la regola del prodotto a $1.36197149 i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 ({1.36197149}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.14

Eleva $1.36197149$ alla potenza di $3$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 i^{3}) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.15

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.16

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.17

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (- i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.18

Moltiplica $- 1$ per $2.52641132$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (- 2.52641132 i) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.19

Moltiplica $- 2.52641132$ per $71.45033635$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.20

Moltiplica $5$ per $2.67301957$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.21

Applica la regola del prodotto a $1.36197149 i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 ({1.36197149}^{4} i^{4}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.22

Eleva $1.36197149$ alla potenza di $4$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 i^{4}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.23

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.23.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 {(i^{2})}^{2}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.23.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 {(- 1)}^{2}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.23.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 \cdot 1) + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.24

Moltiplica $13.36509786 (3.44090021 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.24.1

Moltiplica $3.44090021$ per $1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 \cdot 3.44090021 + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.24.2

Moltiplica $13.36509786$ per $3.44090021$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + {(1.36197149 i)}^{5}$

Passaggio 3.1.25

Applica la regola del prodotto a $1.36197149 i$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + {1.36197149}^{5} i^{5}$

Passaggio 3.1.26

Eleva $1.36197149$ alla potenza di $5$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i^{5}$

Passaggio 3.1.27

Metti in evidenza $i^{4}$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 (i^{4} i)$

Passaggio 3.1.28

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.28.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 ({(i^{2})}^{2} i)$

Passaggio 3.1.28.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 ({(- 1)}^{2} i)$

Passaggio 3.1.28.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 (1 i)$

Passaggio 3.1.29

Moltiplica $i$ per $1$ .

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i$

Passaggio 3.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $354.27658973$ da $136.46167381$ .

$- 217.81491592 + 347.65347843 i - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i$

Passaggio 3.2.2

Somma $- 217.81491592$ e $45.98796809$ .

$- 171.82694782 + 347.65347843 i - 180.51293863 i + 4.68640802 i$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $180.51293863 i$ da $347.65347843 i$ .

$- 171.82694782 + 167.1405398 i + 4.68640802 i$

Passaggio 3.2.4

Somma $167.1405398 i$ e $4.68640802 i$ .

$- 171.82694782 + 171.82694782 i$

Passaggio 4

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 5

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 6

Sostituisci i valori effettivi di $a = - 171.82694782$ e $b = 171.82694782$ .

$| z | = \sqrt{{171.82694782}^{2} + {(- 171.82694782)}^{2}}$

Passaggio 7

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Eleva $171.82694782$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{29524.4\overline{9} + {(- 171.82694782)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Eleva $- 171.82694782$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{29524.4\overline{9} + 29524.4\overline{9}}$

Passaggio 7.3

Somma $29524.4\overline{9}$ e $29524.4\overline{9}$ .

$| z | = \sqrt{59048.\overline{9}}$

Passaggio 8

Calcola la radice.

$| z | = 242.\overline{9}$

Passaggio 9

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{171.82694782}{- 171.82694782})$

Passaggio 10

L'inverso della tangente di $\frac{171.82694782}{- 171.82694782}$ è $- 0.78539816$ .

$θ = - 0.78539816$

Passaggio 11

Sostituisci i valori di $θ = - 0.78539816$ e $| z | = 242.\overline{9}$ .

$242.\overline{9} (\cos (- 0.78539816) + i \sin (- 0.78539816))$