Precalcolo Esempi

$(\frac{3}{5} (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Passaggio 1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Passaggio 1.3

$i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Passaggio 2

Applica la proprietà distributiva.

$(\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{3}{5}$ per $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{3}{5 \cdot 2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Passaggio 3.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Passaggio 4

Moltiplica $\frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{3}{5}$ per $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{5 \cdot 2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Passaggio 4.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{10}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Calcola $\cos (\frac{3 π}{5})$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\sin (\frac{3 π}{5})$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651))$

Passaggio 5.1.3

Sposta $0.95105651$ alla sinistra di $i$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + 0.95105651 i))$

Passaggio 5.2

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 \cdot - 0.30901699 + 5 (0.95105651 i))$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $5$ per $- 0.30901699$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 5 (0.95105651 i))$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $0.95105651$ per $5$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Passaggio 6

Espandi $(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica $\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

$\frac{3}{10}$ e $- 1.54508497$ .

$\frac{3 \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.1.2

Moltiplica $3$ per $- 1.54508497$ .

$\frac{- 4.63525491}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.2

Dividi $- 4.63525491$ per $10$ .

$- 0.46352549 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $\frac{3}{10} (4.75528258 i)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

$4.75528258$ e $\frac{3}{10}$ .

$- 0.46352549 + \frac{4.75528258 \cdot 3}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.3.2

Moltiplica $4.75528258$ per $3$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.3.3

$\frac{14.26584774}{10}$ e $i$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.4

Scomponi $14.26584774$ da $14.26584774 i$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.5

Scomponi $10$ da $10$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.6

Frazioni separate.

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} \cdot \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.7

Dividi $14.26584774$ per $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.8

Dividi $i$ per $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.9

Moltiplica $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.9.1

$\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ e $- 1.54508497$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3} \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.9.2

Moltiplica $- 1.54508497$ per $3$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 4.63525491 i \sqrt{3}}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.9.3

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $- 4.63525491$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 8.02849701 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{(8.02849701) i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.11

Scomponi $8.02849701$ da $8.02849701 i$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.12

Scomponi $10$ da $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.13

Frazioni separate.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (\frac{8.02849701}{10} \cdot \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.14

Dividi $8.02849701$ per $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.15

Dividi $i$ per $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.16

Moltiplica $0.8028497$ per $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Passaggio 7.1.17

Moltiplica $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.17.1

$4.75528258$ e $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{4.75528258 (3 i \sqrt{3})}{10} i$

Passaggio 7.1.17.2

Moltiplica $3$ per $4.75528258$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{14.26584774 (i \sqrt{3})}{10} i$

Passaggio 7.1.17.3

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $14.26584774$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i}{10} i$

Passaggio 7.1.17.4

$\frac{24.7091731 i}{10}$ e $i$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i i}{10}$

Passaggio 7.1.17.5

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i)}{10}$

Passaggio 7.1.17.6

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i^{1})}{10}$

Passaggio 7.1.17.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{1 + 1}}{10}$

Passaggio 7.1.17.8

Somma $1$ e $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{2}}{10}$

Passaggio 7.1.18

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 \cdot - 1}{10}$

Passaggio 7.1.19

Moltiplica $24.7091731$ per $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{- 24.7091731}{10}$

Passaggio 7.1.20

Dividi $- 24.7091731$ per $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i - 2.47091731$

Passaggio 7.2

Sottrai $2.47091731$ da $- 0.46352549$ .

$- 2.9344428 + 1.42658477 i - 0.8028497 i$

Passaggio 7.3

Sottrai $0.8028497 i$ da $1.42658477 i$ .

$- 2.9344428 + 0.62373507 i$

Passaggio 8

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 9

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 10

Sostituisci i valori effettivi di $a = - 2.9344428$ e $b = 0.62373507$ .

$| z | = \sqrt{{0.62373507}^{2} + {(- 2.9344428)}^{2}}$

Passaggio 11

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Eleva $0.62373507$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{0.38904544 + {(- 2.9344428)}^{2}}$

Passaggio 11.2

Eleva $- 2.9344428$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{0.38904544 + 8.61095455}$

Passaggio 11.3

Somma $0.38904544$ e $8.61095455$ .

$| z | = \sqrt{9}$

Passaggio 11.4

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 11.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 3$

Passaggio 12

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{0.62373507}{- 2.9344428})$

Passaggio 13

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{0.62373507}{- 2.9344428}$ produce un angolo nel secondo quadrante, il valore dell'angolo è $2.93215314$ .

$θ = 2.93215314$

Passaggio 14

Sostituisci i valori di $θ = 2.93215314$ e $| z | = 3$ .

$3 (\cos (2.93215314) + i \sin (2.93215314))$