Precalcolo Esempi

${(- 2 - 2 i)}^{4}$

Passaggio 1

Usa il teorema binomiale.

${(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$16 + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica ${(- 2)}^{3}$ per $- 2$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Sposta $- 2$ .

$16 + 4 (- 2 {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica $- 2$ per ${(- 2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $1$ .

$16 + 4 ({(- 2)}^{1} {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$16 + 4 {(- 2)}^{1 + 3} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.2.3

Somma $1$ e $3$ .

$16 + 4 {(- 2)}^{4} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$16 + 4 \cdot 16 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $4$ per $16$ .

$16 + 64 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.5

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$16 + 64 i + 6 \cdot 4 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $6$ per $4$ .

$16 + 64 i + 24 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.7

Applica la regola del prodotto a $- 2 i$ .

$16 + 64 i + 24 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.8

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$16 + 64 i + 24 (4 i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.9

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$16 + 64 i + 24 (4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.10

Moltiplica $24 (4 \cdot - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$16 + 64 i + 24 \cdot - 4 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.10.2

Moltiplica $24$ per $- 4$ .

$16 + 64 i - 96 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.11

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.12

Applica la regola del prodotto a $- 2 i$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.13

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.14

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.15

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- 1 \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.16

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.17

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (8 i) + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.18

Moltiplica $8$ per $- 8$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2 i)}^{4}$

Passaggio 2.1.19

Applica la regola del prodotto a $- 2 i$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2)}^{4} i^{4}$

Passaggio 2.1.20

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 i^{4}$

Passaggio 2.1.21

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.21.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(i^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.21.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.1.21.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 \cdot 1$

Passaggio 2.1.22

Moltiplica $16$ per $1$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16$

Passaggio 2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $96$ da $16$ .

$- 80 + 64 i - 64 i + 16$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 80$ e $16$ .

$- 64 + 64 i - 64 i$

Passaggio 2.2.3

Sottrai $64 i$ da $64 i$ .

$- 64 + 0$

Passaggio 2.2.4

Somma $- 64$ e $0$ .

$- 64$

Passaggio 3

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 4

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi di $a = - 64$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 64)}^{2}}$

Passaggio 6

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 64)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Eleva $- 64$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4096}$

Passaggio 6.3

Somma $0$ e $4096$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Passaggio 6.4

Riscrivi $4096$ come $64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Passaggio 6.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 64$

Passaggio 7

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 64})$

Passaggio 8

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{0}{- 64}$ produce un angolo nel secondo quadrante, il valore dell'angolo è $π$ .

$θ = π$

Passaggio 9

Sostituisci i valori di $θ = π$ e $| z | = 64$ .

$64 (\cos (π) + i \sin (π))$