Precalcolo Esempi

$\frac{6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Passaggio 1

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $3$ da $6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))$ .

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Passaggio 1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{\cos (2 π) + i \sin (2 π)}$

Passaggio 2

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i}$ per il coniugato di $10 i$ per rendere il denominatore reale.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i} \cdot \frac{1 + 0 i}{1 + 0 i}$

Passaggio 3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{2 (\cos (π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Passaggio 3.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{2 (- \cos (0) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Passaggio 3.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Passaggio 3.2.1.5

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Passaggio 3.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{2 (- 1 + i \sin (0)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Passaggio 3.2.1.7

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{2 (- 1 + i \cdot 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Passaggio 3.2.1.8

Moltiplica $i$ per $0$ .

$\frac{2 (- 1 + 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Passaggio 3.2.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Passaggio 3.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 \cdot 1 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{- 2 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $0$ per $- 2$ .

$\frac{- 20 i}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Passaggio 3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Espandi $(10 i) (1 + 0 i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 20 i}{1 (1 + 0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i 0 i (0 i)}$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i i}$

Passaggio 3.3.2.5

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i)}$

Passaggio 3.3.2.6

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i^{1})}$

Passaggio 3.3.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{1 + 1}}$

Passaggio 3.3.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{2}}$

Passaggio 3.3.2.9

Moltiplica $0$ per $i^{2}$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0}$

Passaggio 3.3.2.10

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i}$

Passaggio 3.3.2.11

Sottrai $0 i$ da $0 i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $0$ per $i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0}$

Passaggio 3.3.4

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{- 20 i}{1}$

Passaggio 4

Dividi $- 20 i$ per $1$ .

$- 20 i$

Passaggio 5

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 6

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 7

Sostituisci i valori effettivi di $a = - 2$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{{(0)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 8

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Eleva $0$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4}$

Passaggio 8.3

Somma $0$ e $4$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Passaggio 8.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 8.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 2$

Passaggio 9

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 2})$

Passaggio 10

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{0}{- 2}$ produce un angolo nel terzo quadrante, il valore dell'angolo è $3.14159265$ .

$θ = 3.14159265$

Passaggio 11

Sostituisci i valori di $θ = 3.14159265$ e $| z | = 2$ .

$2 (\cos (3.14159265) + i \sin (3.14159265))$