Precalcolo Esempi

$- 4 \sqrt{2} (1 - i)$

Passaggio 1

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 \sqrt{2} \cdot 1 - 4 \sqrt{2} (- i)$

Passaggio 2

Moltiplica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} (- i)$

Passaggio 2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$- 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} i$

Passaggio 3

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 4

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi di $a = - 4 \sqrt{2}$ e $b = 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6

Trova $| z |$ .

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Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.2.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $16$ per $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 6.3.2

Applica la regola del prodotto a $- 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 6.3.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 6.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 6.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 6.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 6.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 6.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Passaggio 6.4.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Passaggio 6.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.5.1

Moltiplica $16$ per $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 32}$

Passaggio 6.5.2

Somma $32$ e $32$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Passaggio 6.5.3

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 6.5.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 8$

Passaggio 7

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}})$

Passaggio 8

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}}$ produce un angolo nel secondo quadrante, il valore dell'angolo è $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 9

Sostituisci i valori di $θ = \frac{3 π}{4}$ e $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$