Precalcolo Esempi

$\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6} \leq 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x = 0$

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

Passaggio 2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = - 6$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3

Somma $4$ e $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.4

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3

Somma $4$ e $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Passaggio 5.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{7}$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.3

Somma $4$ e $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Passaggio 6.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{7}$

Passaggio 7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Passaggio 8

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Passaggio 9

Consolida le soluzioni.

$x = 0, - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Passaggio 10

Trova il dominio di $\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta il denominatore in $\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = - 6$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.3.1.3

Somma $4$ e $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.3.1.4

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 10.2.3.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Passaggio 10.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.4.1.3

Somma $4$ e $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.4.1.4

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 10.2.4.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Passaggio 10.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{7}$

Passaggio 10.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.5.1.3

Somma $4$ e $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.5.1.4

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 10.2.5.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Passaggio 10.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{7}$

Passaggio 10.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Passaggio 10.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup (- 1 - \sqrt{7}, - 1 + \sqrt{7}) \cup (- 1 + \sqrt{7}, \infty)$

Passaggio 11

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1 - \sqrt{7}$

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$

$x > - 1 + \sqrt{7}$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1 - \sqrt{7}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1 - \sqrt{7}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{- 6}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 6} \leq 0$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{3}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 6} \leq 0$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $0.\overline{3}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 12.3.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{{(1)}^{2} + 2 (1) - 6} \leq 0$

Passaggio 12.3.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{3}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.4

Testa un valore sull'intervallo $x > - 1 + \sqrt{7}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > - 1 + \sqrt{7}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 12.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4}{{(4)}^{2} + 2 (4) - 6} \leq 0$

Passaggio 12.4.3

Il lato sinistro di $0.\overline{2}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1 - \sqrt{7}$ Vero

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ Falso

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ Vero

$x > - 1 + \sqrt{7}$ Falso

$x < - 1 - \sqrt{7}$ Vero

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ Falso

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ Vero

$x > - 1 + \sqrt{7}$ Falso

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 1 - \sqrt{7}$ o $0 \leq x < - 1 + \sqrt{7}$

Passaggio 14

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup [0, - 1 + \sqrt{7})$

Passaggio 15