Precalcolo Esempi

$\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} > \frac{2}{x - 4}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{2}{x - 4}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} - \frac{2}{x - 4} > 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} - \frac{2}{x - 4}$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $x^{2} - 6 x + 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $8$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 4, - 2$

Passaggio 2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2}{x - 4} > 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{2}{x - 4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2}{x - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} > 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $\frac{2}{x - 4}$ per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2 (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + 6 - 2 (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + 6 - 2 x - 2 \cdot - 2}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{x + 6 - 2 x + 4}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Passaggio 2.5.3

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$\frac{- x + 6 + 4}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Passaggio 2.5.4

Somma $6$ e $4$ .

$\frac{- x + 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Passaggio 2.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) + 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Passaggio 2.7

Riscrivi $10$ come $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Passaggio 2.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (x - 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Passaggio 2.9

Riscrivi $- (x - 10)$ come $- 1 (x - 10)$ .

$\frac{- 1 (x - 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Passaggio 2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 10 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 4

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 10$

Passaggio 5

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 6

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 10$

$x = 4$

$x = 2$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 10, 4, 2$

Passaggio 9

Trova il dominio di $- \frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 9.2.2

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.2.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 9.2.3

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.3.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 9.2.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 9.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 4, 2$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 10

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 10$

$x > 10$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(0) + 6}{{(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 8} > \frac{2}{(0) - 4}$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $0.75$ è maggiore del lato destro di $- 0.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(3) + 6}{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 8} > \frac{2}{(3) - 4}$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 9$ non è maggiore del lato destro di $- 2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $4 < x < 10$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $4 < x < 10$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 7$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $7$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(7) + 6}{{(7)}^{2} - 6 \cdot 7 + 8} > \frac{2}{(7) - 4}$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $0.8\overline{6}$ è maggiore del lato destro di $0.\overline{6}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 10$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 10$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 12$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $12$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(12) + 6}{{(12)}^{2} - 6 \cdot 12 + 8} > \frac{2}{(12) - 4}$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $0.225$ non è maggiore del lato destro di $0.25$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 2$ Vero

$2 < x < 4$ Falso

$4 < x < 10$ Vero

$x > 10$ Falso

$x < 2$ Vero

$2 < x < 4$ Falso

$4 < x < 10$ Vero

$x > 10$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < 2$ o $4 < x < 10$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, 2) \cup (4, 10)$

Passaggio 14