Precalcolo Esempi

$\frac{4 + x}{4 - x} \geq 1$

Passaggio 1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{4 + x}{4 - x} - 1 \geq 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{4 + x}{4 - x} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{4 + x}{4 - x} - 1 \cdot \frac{4 - x}{4 - x} \geq 0$

Passaggio 2.2

$- 1$ e $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{4 + x}{4 - x} + \frac{- (4 - x)}{4 - x} \geq 0$

Passaggio 2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 + x - (4 - x)}{4 - x} \geq 0$

Passaggio 2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 + x - 1 \cdot 4 - - x}{4 - x} \geq 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{4 + x - 4 - - x}{4 - x} \geq 0$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{4 + x - 4 + 1 x}{4 - x} \geq 0$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{4 + x - 4 + x}{4 - x} \geq 0$

Passaggio 2.4.4

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{x + 0 + x}{4 - x} \geq 0$

Passaggio 2.4.5

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{x + x}{4 - x} \geq 0$

Passaggio 2.4.6

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{2 x}{4 - x} \geq 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$2 x = 0$

$4 - x = 0$

Passaggio 4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 4$

Passaggio 6

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 6.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x = 4$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = 4$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 0, 4$

Passaggio 9

Trova il dominio di $\frac{2 x}{4 - x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x}{4 - x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$4 - x = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 4$

Passaggio 9.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 9.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 9.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 9.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x = 4$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 10

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4 - 2}{4 - (- 2)} \geq 1$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $0.\overline{3}$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4 + 2}{4 - (2)} \geq 1$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $3$ è maggiore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4 + 6}{4 - (6)} \geq 1$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $- 5$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 \leq x < 4$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$[0, 4)$

Passaggio 14