Precalcolo Esempi

\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25} \leq 0

$\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25} \leq 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a

0

$0$ e risolvendo.

x^{2} - 9 x + 18 = 0

$x^{2} - 9 x + 18 = 0$

4 x^{2} - 25 = 0

$4 x^{2} - 25 = 0$

Passaggio 2

Scomponi

x^{2} - 9 x + 18

$x^{2} - 9 x + 18$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Considera la forma

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è

c

$c$ e la cui formula è

b

$b$ . In questo caso, il cui prodotto è

18

$18$ e la cui somma è

- 9

$- 9$ .

- 6, - 3

$- 6, - 3$

Passaggio 2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

(x - 6) (x - 3) = 0

$(x - 6) (x - 3) = 0$

(x - 6) (x - 3) = 0

$(x - 6) (x - 3) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

x - 6 = 0

$x - 6 = 0$

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Passaggio 4

Imposta

x - 6

$x - 6$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta

x - 6

$x - 6$ uguale a

0

$0$ .

x - 6 = 0

$x - 6 = 0$

Passaggio 4.2

Somma

6

$6$ a entrambi i lati dell'equazione.

x = 6

$x = 6$

x = 6

$x = 6$

Passaggio 5

Imposta

x - 3

$x - 3$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta

x - 3

$x - 3$ uguale a

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.2

Somma

3

$3$ a entrambi i lati dell'equazione.

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

(x - 6) (x - 3) = 0

$(x - 6) (x - 3) = 0$ vera.

x = 6, 3

$x = 6, 3$

Passaggio 7

Somma

25

$25$ a entrambi i lati dell'equazione.

4 x^{2} = 25

$4 x^{2} = 25$

Passaggio 8

Dividi per

4

$4$ ciascun termine in

4 x^{2} = 25

$4 x^{2} = 25$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per

4

$4$ ciascun termine in

4 x^{2} = 25

$4 x^{2} = 25$ .

\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di

4

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi

x^{2}

$x^{2}$ per

1

$1$ .

x^{2} = \frac{25}{4}

$x^{2} = \frac{25}{4}$

x^{2} = \frac{25}{4}

$x^{2} = \frac{25}{4}$

x^{2} = \frac{25}{4}

$x^{2} = \frac{25}{4}$

x^{2} = \frac{25}{4}

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Passaggio 9

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Passaggio 10

Semplifica

\pm \sqrt{\frac{25}{4}}

$\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi

\sqrt{\frac{25}{4}}

$\sqrt{\frac{25}{4}}$ come

\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Riscrivi

25

$25$ come

5^{2}

$5^{2}$ .

x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 10.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Passaggio 10.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Riscrivi

4

$4$ come

2^{2}

$2^{2}$ .

x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 10.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

x = \pm \frac{5}{2}

$x = \pm \frac{5}{2}$

x = \pm \frac{5}{2}

$x = \pm \frac{5}{2}$

x = \pm \frac{5}{2}

$x = \pm \frac{5}{2}$

Passaggio 11

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di

\pm

$\pm$ per trovare la prima soluzione.

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

Passaggio 11.2

Ora, usa il valore negativo del

\pm

$\pm$ per trovare la seconda soluzione.

x = - \frac{5}{2}

$x = - \frac{5}{2}$

Passaggio 11.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Passaggio 12

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

x = 6, 3

$x = 6, 3$

x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Passaggio 13

Consolida le soluzioni.

x = 6, 3, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}

$x = 6, 3, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Passaggio 14

Trova il dominio di

\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}

$\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Imposta il denominatore in

\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}

$\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ in modo che sia uguale a

0

$0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

4 x^{2} - 25 = 0

$4 x^{2} - 25 = 0$

Passaggio 14.2

Risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Somma

25

$25$ a entrambi i lati dell'equazione.

4 x^{2} = 25

$4 x^{2} = 25$

Passaggio 14.2.2

Dividi per

4

$4$ ciascun termine in

4 x^{2} = 25

$4 x^{2} = 25$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Dividi per

4

$4$ ciascun termine in

4 x^{2} = 25

$4 x^{2} = 25$ .

\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Passaggio 14.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di

4

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Passaggio 14.2.2.2.1.2

Dividi

x^{2}

$x^{2}$ per

1

$1$ .

x^{2} = \frac{25}{4}

$x^{2} = \frac{25}{4}$

x^{2} = \frac{25}{4}

$x^{2} = \frac{25}{4}$

x^{2} = \frac{25}{4}

$x^{2} = \frac{25}{4}$

x^{2} = \frac{25}{4}

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Passaggio 14.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Passaggio 14.2.4

Semplifica

\pm \sqrt{\frac{25}{4}}

$\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1

Riscrivi

\sqrt{\frac{25}{4}}

$\sqrt{\frac{25}{4}}$ come

\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 14.2.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.2.1

Riscrivi

25

$25$ come

5^{2}

$5^{2}$ .

x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 14.2.4.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Passaggio 14.2.4.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.3.1

Riscrivi

4

$4$ come

2^{2}

$2^{2}$ .

x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 14.2.4.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

x = \pm \frac{5}{2}

$x = \pm \frac{5}{2}$

x = \pm \frac{5}{2}

$x = \pm \frac{5}{2}$

x = \pm \frac{5}{2}

$x = \pm \frac{5}{2}$

Passaggio 14.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di

\pm

$\pm$ per trovare la prima soluzione.

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

Passaggio 14.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del

\pm

$\pm$ per trovare la seconda soluzione.

x = - \frac{5}{2}

$x = - \frac{5}{2}$

Passaggio 14.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Passaggio 14.3

Il dominio è formato da tutti i valori di

x

$x$ che rendono definita l'espressione.

(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

Passaggio 15

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

x < - \frac{5}{2}

$x < - \frac{5}{2}$

- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$

\frac{5}{2} < x < 3

$\frac{5}{2} < x < 3$

3 < x < 6

$3 < x < 6$

x > 6

$x > 6$

Passaggio 16

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Testa un valore sull'intervallo

x < - \frac{5}{2}

$x < - \frac{5}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Scegli un valore sull'intervallo

x < - \frac{5}{2}

$x < - \frac{5}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

x = - 5

$x = - 5$

Passaggio 16.1.2

Sostituisci

x

$x$ con

- 5

$- 5$ nella diseguaglianza originale.

\frac{{(- 5)}^{2} - 9 \cdot - 5 + 18}{4 {(- 5)}^{2} - 25} \leq 0

$\frac{{(- 5)}^{2} - 9 \cdot - 5 + 18}{4 {(- 5)}^{2} - 25} \leq 0$

Passaggio 16.1.3

Il lato sinistro di

1.17\overline{3}

$1.17\overline{3}$ è maggiore del lato destro di

0

$0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 16.2

Testa un valore sull'intervallo

- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Scegli un valore sull'intervallo

- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

x = 0

$x = 0$

Passaggio 16.2.2

Sostituisci

x

$x$ con

0

$0$ nella diseguaglianza originale.

\frac{{(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 18}{4 {(0)}^{2} - 25} \leq 0

$\frac{{(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 18}{4 {(0)}^{2} - 25} \leq 0$

Passaggio 16.2.3

Il lato sinistro di

- 0.72

$- 0.72$ è minore del lato destro di

0

$0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 16.3

Testa un valore sull'intervallo

\frac{5}{2} < x < 3

$\frac{5}{2} < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Scegli un valore sull'intervallo

\frac{5}{2} < x < 3

$\frac{5}{2} < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

x = 2.75

$x = 2.75$

Passaggio 16.3.2

Sostituisci

x

$x$ con

2.75

$2.75$ nella diseguaglianza originale.

\frac{{(2.75)}^{2} - 9 \cdot 2.75 + 18}{4 {(2.75)}^{2} - 25} \leq 0

$\frac{{(2.75)}^{2} - 9 \cdot 2.75 + 18}{4 {(2.75)}^{2} - 25} \leq 0$

Passaggio 16.3.3

Il lato sinistro di

0.1547619

$0.1547619$ è maggiore del lato destro di

0

$0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 16.4

Testa un valore sull'intervallo

3 < x < 6

$3 < x < 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Scegli un valore sull'intervallo

3 < x < 6

$3 < x < 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

x = 4

$x = 4$

Passaggio 16.4.2

Sostituisci

x

$x$ con

4

$4$ nella diseguaglianza originale.

\frac{{(4)}^{2} - 9 \cdot 4 + 18}{4 {(4)}^{2} - 25} \leq 0

$\frac{{(4)}^{2} - 9 \cdot 4 + 18}{4 {(4)}^{2} - 25} \leq 0$

Passaggio 16.4.3

Il lato sinistro di

- 0.\overline{051282}

$- 0.\overline{051282}$ è minore del lato destro di

0

$0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 16.5

Testa un valore sull'intervallo

x > 6

$x > 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.1

Scegli un valore sull'intervallo

x > 6

$x > 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

x = 8

$x = 8$

Passaggio 16.5.2

Sostituisci

x

$x$ con

8

$8$ nella diseguaglianza originale.

\frac{{(8)}^{2} - 9 \cdot 8 + 18}{4 {(8)}^{2} - 25} \leq 0

$\frac{{(8)}^{2} - 9 \cdot 8 + 18}{4 {(8)}^{2} - 25} \leq 0$

Passaggio 16.5.3

Il lato sinistro di

0.\overline{043290}

$0.\overline{043290}$ è maggiore del lato destro di

0

$0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 16.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

x < - \frac{5}{2}

$x < - \frac{5}{2}$ Falso

- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Vero

\frac{5}{2} < x < 3

$\frac{5}{2} < x < 3$ Falso

3 < x < 6

$3 < x < 6$ Vero

x > 6

$x > 6$ Falso

x < - \frac{5}{2}

$x < - \frac{5}{2}$ Falso

- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Vero

\frac{5}{2} < x < 3

$\frac{5}{2} < x < 3$ Falso

3 < x < 6

$3 < x < 6$ Vero

x > 6

$x > 6$ Falso

Passaggio 17

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ o

3 \leq x \leq 6

$3 \leq x \leq 6$

Passaggio 18

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

(- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup [3, 6]

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup [3, 6]$

Passaggio 19