Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2} - 81}{x^{4} - 81} < 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x^{2} - 81 = 0$

$x^{4} - 81 = 0$

Passaggio 2

Somma $81$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 81$

Passaggio 3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{81}$

Passaggio 4

Semplifica $\pm \sqrt{81}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{9^{2}}$

Passaggio 4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 9$

Passaggio 5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 9$

Passaggio 5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 9$

Passaggio 5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 9, - 9$

Passaggio 6

Somma $81$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{4} = 81$

Passaggio 7

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[4]{81}$

Passaggio 8

Semplifica $\pm \sqrt[4]{81}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi $81$ come $3^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

Passaggio 8.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 9

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 9.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 9.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 10

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 9, - 9$

$x = 3, - 3$

Passaggio 11

Consolida le soluzioni.

$x = 9, - 9, 3, - 3$

Passaggio 12

Trova il dominio di $\frac{x^{2} - 81}{x^{4} - 81}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} - 81}{x^{4} - 81}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{4} - 81 = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Somma $81$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{4} = 81$

Passaggio 12.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[4]{81}$

Passaggio 12.2.3

Semplifica $\pm \sqrt[4]{81}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Riscrivi $81$ come $3^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

Passaggio 12.2.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 12.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 12.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 12.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 12.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 13

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 9$

$- 9 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 9$

$x > 9$

Passaggio 14

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 9$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 9$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 12$

Passaggio 14.1.2

Sostituisci $x$ con $- 12$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 12)}^{2} - 81}{{(- 12)}^{4} - 81} < 0$

Passaggio 14.1.3

Il lato sinistro di $0.0030501$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 14.2

Testa un valore sull'intervallo $- 9 < x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 9 < x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 14.2.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 81}{{(- 6)}^{4} - 81} < 0$

Passaggio 14.2.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{037}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 14.3

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 14.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(0)}^{2} - 81}{{(0)}^{4} - 81} < 0$

Passaggio 14.3.3

Il lato sinistro di $1$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 14.4

Testa un valore sull'intervallo $3 < x < 9$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $3 < x < 9$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 14.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(6)}^{2} - 81}{{(6)}^{4} - 81} < 0$

Passaggio 14.4.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{037}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 14.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 9$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 9$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 12$

Passaggio 14.5.2

Sostituisci $x$ con $12$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(12)}^{2} - 81}{{(12)}^{4} - 81} < 0$

Passaggio 14.5.3

Il lato sinistro di $0.0030501$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 14.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 9$ Falso

$- 9 < x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 3$ Falso

$3 < x < 9$ Vero

$x > 9$ Falso

$x < - 9$ Falso

$- 9 < x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 3$ Falso

$3 < x < 9$ Vero

$x > 9$ Falso

Passaggio 15

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 9 < x < - 3$ o $3 < x < 9$

Passaggio 16

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- 9, - 3) \cup (3, 9)$

Passaggio 17