Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75$

Passaggio 1

Imposta $x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75$ uguale a $0$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$- 4 x^{3} - 20 x + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x^{3} - 20 x$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 20 x + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $- 4 x$ da $- 20 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot 5 + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x (x^{2}) - 4 x (5)$ .

$- 4 x (x^{2} + 5) + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 5) + {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Passaggio 2.1.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 4 x (x^{2} + 5) + u^{2} - 10 u - 75 = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $u^{2} - 10 u - 75$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 75$ e la cui somma è $- 10$ .

$- 15, 5$

Passaggio 2.1.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- 4 x (x^{2} + 5) + (u - 15) (u + 5) = 0$

Passaggio 2.1.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 5) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5) = 0$

Passaggio 2.1.7

Scomponi $x^{2} + 5$ da $- 4 x (x^{2} + 5) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5)$ .

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Passaggio 2.1.7.1

Scomponi $x^{2} + 5$ da $- 4 x (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5) = 0$

Passaggio 2.1.7.2

Scomponi $x^{2} + 5$ da $(x^{2} - 15) (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} - 15) = 0$

Passaggio 2.1.7.3

Scomponi $x^{2} + 5$ da $(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} - 15)$ .

$(x^{2} + 5) (- 4 x + x^{2} - 15) = 0$

Passaggio 2.1.8

Riordina i termini.

$(x^{2} + 5) (x^{2} - 4 x - 15) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

$x^{2} - 4 x - 15 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x^{2} + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x^{2} + 5$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $x^{2} + 5 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 5$

Passaggio 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Passaggio 2.3.2.3.1

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (5)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Passaggio 2.3.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Passaggio 2.3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.3.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{5}$

Passaggio 2.3.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{5}$

Passaggio 2.3.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2} - 4 x - 15$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2} - 4 x - 15$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 4 x - 15 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} - 4 x - 15 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = - 15$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.4.2.3.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Passaggio 2.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 15$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 60}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.3

Somma $16$ e $60$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.4

Riscrivi $76$ come $2^{2} \cdot 19$ .

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Passaggio 2.4.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $76$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$

Passaggio 2.4.2.3.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{19}$

Passaggio 2.4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 2 + \sqrt{19}, 2 - \sqrt{19}$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} + 5) (x^{2} - 4 x - 15) = 0$ vera.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, 2 + \sqrt{19}, 2 - \sqrt{19}$

Passaggio 3