Precalcolo Esempi

$p (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 39$

Passaggio 1

Imposta $x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 39$ uguale a $0$ .

$x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 39 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 39$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci $- 3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 3$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci $- 3$ nel polinomio.

${(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 + 39$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$- 27 - 3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 + 39$

Passaggio 2.1.3.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$- 27 - 3 \cdot 9 - 5 \cdot - 3 + 39$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$- 27 - 27 - 5 \cdot - 3 + 39$

Passaggio 2.1.3.5

Sottrai $27$ da $- 27$ .

$- 54 - 5 \cdot - 3 + 39$

Passaggio 2.1.3.6

Moltiplica $- 5$ per $- 3$ .

$- 54 + 15 + 39$

Passaggio 2.1.3.7

Somma $- 54$ e $15$ .

$- 39 + 39$

Passaggio 2.1.3.8

Somma $- 39$ e $39$ .

$0$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 39}{x + 3}$

Passaggio 2.1.5

Dividi $x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 39$ per $x + 3$ .

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Passaggio 2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$5 x$

$39$

Passaggio 2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$39$

Passaggio 2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$39$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$39$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$39$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$39$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$39$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$39$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$18 x$

Passaggio 2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x^{2} - 18 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$39$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$

Passaggio 2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$39$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$13 x$

Passaggio 2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$39$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$13 x$	+	$39$

Passaggio 2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $13 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$39$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$13 x$	+	$39$

Passaggio 2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$39$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$13 x$	+	$39$
							+	$13 x$	+	$39$

Passaggio 2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $13 x + 39$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$39$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$13 x$	+	$39$
							-	$13 x$	-	$39$

Passaggio 2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$5 x$	+	$39$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$13 x$	+	$39$
							-	$13 x$	-	$39$
										$0$

Passaggio 2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 6 x + 13$

Passaggio 2.1.6

Scrivi $x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 39$ come insieme di fattori.

$(x + 3) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2} - 6 x + 13$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2} - 6 x + 13$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} - 6 x + 13 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = 13$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.4.2.3.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.3

Sottrai $52$ da $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.4

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (16)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.7

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Passaggio 2.4.2.3.3

Semplifica $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Passaggio 2.4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 3) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$ vera.

$x = - 3, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Passaggio 3