Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{3} \csc (x) + 2$

Passaggio 1

Imposta $\sqrt{3} \csc (x) + 2$ uguale a $0$ .

$\sqrt{3} \csc (x) + 2 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{3} \csc (x) = - 2$

Passaggio 2.2

Dividi per $\sqrt{3}$ ciascun termine in $\sqrt{3} \csc (x) = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $\sqrt{3}$ ciascun termine in $\sqrt{3} \csc (x) = - 2$ .

$\frac{\sqrt{3} \csc (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{3} \csc (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $\csc (x)$ per $1$ .

$\csc (x) = \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\csc (x) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 2.2.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.2.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.2.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 2.2.3.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.2.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.2.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.2.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 2.2.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.3

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Il valore esatto di $arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ è $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Passaggio 2.5

La funzione della cosecante è negativa nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Passaggio 2.6.2

L'angolo risultante di $\frac{4 π}{3}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 2.7

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.8

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{3}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Passaggio 2.8.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 2.8.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 2.8.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 2.8.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 2.8.4.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Passaggio 2.8.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 2.9

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3