Precalcolo Esempi

$z^{4} = 81 i$

Passaggio 1

Sostituisci $z^{4}$ per $u$ .

$u^{4} = 81 i$

Passaggio 2

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 3

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi di $a = 0$ e $b = 81$ .

$| z | = \sqrt{81^{2}}$

Passaggio 5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 81$

Passaggio 6

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{81}{0})$

Passaggio 7

Poiché l'argomento è indefinito e $b$ è positivo, l'angolo del punto sul piano complesso è $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori di $θ = \frac{π}{2}$ e $| z | = 81$ .

$81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 9

Sostituisci il lato destro dell'equazione con la forma trigonometrica.

$u^{4} = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 10

Utilizza la formula di de Moivre per determinare un'equazione per $u$ .

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = 81 i = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 11

Fai equivalere il modulo della forma trigonometrica a $r^{4}$ per trovare il valore di $r$ .

$r^{4} = 81$

Passaggio 12

Risolvi l'equazione per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[4]{81}$

Passaggio 12.2

Semplifica $\pm \sqrt[4]{81}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Riscrivi $81$ come $3^{4}$ .

$r = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

Passaggio 12.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$r = \pm 3$

Passaggio 12.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$r = 3$

Passaggio 12.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$r = - 3$

Passaggio 12.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$r = 3, - 3$

Passaggio 13

Trova il valore approssimativo di $r$ .

$r = 3$

Passaggio 14

Trova i possibili valori di $θ$ .

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ e $s i n (4 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Passaggio 15

Trovando tutti i possibili valori di $θ$ si ottiene l'equazione $4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Passaggio 16

Trova il valore di $θ$ per $r = 0$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Passaggio 17

Risolvi l'equazione per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Moltiplica $2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Passaggio 17.1.1.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0$

Passaggio 17.1.2

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$4 θ = \frac{π}{2}$

Passaggio 17.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 θ = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 θ = \frac{π}{2}$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Passaggio 17.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Passaggio 17.2.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Passaggio 17.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 17.2.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 17.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$θ = \frac{π}{8}$

Passaggio 18

Utilizza i valori di $θ$ e $r$ per trovare una soluzione all'equazione $u^{4} = 81 i$ .

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{π}{8}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Passaggio 19

Converti la soluzione sotto forma rettangolare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{8})$ è $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.1.1

Riscrivi $\frac{π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Passaggio 19.1.1.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{0} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Passaggio 19.1.1.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il coseno è positivo nel primo quadrante.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Passaggio 19.1.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Passaggio 19.1.1.5

Semplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.1.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Passaggio 19.1.1.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Passaggio 19.1.1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Passaggio 19.1.1.5.4

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.1.5.4.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Passaggio 19.1.1.5.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Passaggio 19.1.1.5.5

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Passaggio 19.1.1.5.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.1.5.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Passaggio 19.1.1.5.6.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Passaggio 19.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{8})$ è $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.2.1

Riscrivi $\frac{π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

Passaggio 19.1.2.2

Applica la formula di bisezione per il seno.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Passaggio 19.1.2.3

Cambia $\pm$ in $+$ , poiché il seno è positivo nel primo quadrante.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Passaggio 19.1.2.4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.2.4.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Passaggio 19.1.2.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Passaggio 19.1.2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Passaggio 19.1.2.4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Passaggio 19.1.2.4.5

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.2.4.5.1

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Passaggio 19.1.2.4.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

Passaggio 19.1.2.4.6

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Passaggio 19.1.2.4.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.2.4.7.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Passaggio 19.1.2.4.7.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Passaggio 19.1.3

$i$ e $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Passaggio 19.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Passaggio 19.2.2

$3$ e $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Passaggio 20

Sostituisci $u$ per $z^{4}$ per calcolare il valore di $z$ dopo lo shift a destra.

$z_{0} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Passaggio 21

Trova il valore di $θ$ per $r = 1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Passaggio 22

Risolvi l'equazione per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 22.1.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 22.1.3

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Passaggio 22.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Passaggio 22.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Passaggio 22.1.6

Somma $π$ e $4 π$ .

$4 θ = \frac{5 π}{2}$

Passaggio 22.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 θ = \frac{5 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 θ = \frac{5 π}{2}$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Passaggio 22.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Passaggio 22.2.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Passaggio 22.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 22.2.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 22.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$θ = \frac{5 π}{8}$

Passaggio 23

Utilizza i valori di $θ$ e $r$ per trovare una soluzione all'equazione $u^{4} = 81 i$ .

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{5 π}{8}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Passaggio 24

Converti la soluzione sotto forma rettangolare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{5 π}{8})$ è $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1.1.1

Riscrivi $\frac{5 π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Passaggio 24.1.1.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{1} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Passaggio 24.1.1.3

Cambia $\pm$ in $-$ , poiché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Passaggio 24.1.1.4

Semplifica $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1.1.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Passaggio 24.1.1.4.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Passaggio 24.1.1.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Passaggio 24.1.1.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Passaggio 24.1.1.4.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Passaggio 24.1.1.4.6

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1.1.4.6.1

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Passaggio 24.1.1.4.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Passaggio 24.1.1.4.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Passaggio 24.1.1.4.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1.1.4.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Passaggio 24.1.1.4.8.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Passaggio 24.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{5 π}{8})$ è $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1.2.1

Riscrivi $\frac{5 π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}))$

Passaggio 24.1.2.2

Applica la formula di bisezione per il seno.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Passaggio 24.1.2.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il seno è positivo nel secondo quadrante.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})$

Passaggio 24.1.2.4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1.2.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Passaggio 24.1.2.4.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Passaggio 24.1.2.4.3

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1.2.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})$

Passaggio 24.1.2.4.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Passaggio 24.1.2.4.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Passaggio 24.1.2.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Passaggio 24.1.2.4.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Passaggio 24.1.2.4.7

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1.2.4.7.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Passaggio 24.1.2.4.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

Passaggio 24.1.2.4.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Passaggio 24.1.2.4.9

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1.2.4.9.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Passaggio 24.1.2.4.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Passaggio 24.1.3

$i$ e $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Passaggio 24.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{1} = 3 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Passaggio 24.2.2

$3$ e $\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Passaggio 24.2.3

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Passaggio 24.2.4

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Passaggio 24.2.5

Scomponi $- 1$ da $- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Passaggio 24.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.6.1

Riscrivi $- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ come $- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

$u_{1} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Passaggio 24.2.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Passaggio 25

Sostituisci $u$ per $z^{4}$ per calcolare il valore di $z$ dopo lo shift a destra.

$z_{1} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Passaggio 26

Trova il valore di $θ$ per $r = 2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Passaggio 27

Risolvi l'equazione per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Passaggio 27.1.2

Per scrivere $4 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 27.1.3

$4 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Passaggio 27.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Passaggio 27.1.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$4 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Passaggio 27.1.6

Somma $π$ e $8 π$ .

$4 θ = \frac{9 π}{2}$

Passaggio 27.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 θ = \frac{9 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 θ = \frac{9 π}{2}$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Passaggio 27.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Passaggio 27.2.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Passaggio 27.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 27.2.3.2

Moltiplica $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{9 π}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{9 π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 27.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$θ = \frac{9 π}{8}$

Passaggio 28

Utilizza i valori di $θ$ e $r$ per trovare una soluzione all'equazione $u^{4} = 81 i$ .

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{9 π}{8}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Passaggio 29

Converti la soluzione sotto forma rettangolare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{9 π}{8})$ è $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1.1.1

Riscrivi $\frac{9 π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Passaggio 29.1.1.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{2} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Passaggio 29.1.1.3

Cambia $\pm$ in $-$ , poiché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Passaggio 29.1.1.4

Semplifica $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1.1.4.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Passaggio 29.1.1.4.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Passaggio 29.1.1.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Passaggio 29.1.1.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Passaggio 29.1.1.4.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Passaggio 29.1.1.4.6

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1.1.4.6.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Passaggio 29.1.1.4.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Passaggio 29.1.1.4.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Passaggio 29.1.1.4.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1.1.4.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Passaggio 29.1.1.4.8.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Passaggio 29.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{9 π}{8})$ è $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1.2.1

Riscrivi $\frac{9 π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}))$

Passaggio 29.1.2.2

Applica la formula di bisezione per il seno.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Passaggio 29.1.2.3

Cambia $\pm$ in $-$ , poiché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Passaggio 29.1.2.4

Semplifica $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1.2.4.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Passaggio 29.1.2.4.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Passaggio 29.1.2.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Passaggio 29.1.2.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Passaggio 29.1.2.4.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Passaggio 29.1.2.4.6

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1.2.4.6.1

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Passaggio 29.1.2.4.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}))$

Passaggio 29.1.2.4.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Passaggio 29.1.2.4.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1.2.4.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Passaggio 29.1.2.4.8.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Passaggio 29.1.3

$i$ e $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Passaggio 29.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{2} = 3 (\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Passaggio 29.2.2

$3$ e $\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Passaggio 29.2.3

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Passaggio 29.2.4

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Passaggio 29.2.5

Scomponi $- 1$ da $- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Passaggio 29.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.2.6.1

Riscrivi $- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ come $- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

$u_{2} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Passaggio 29.2.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Passaggio 30

Sostituisci $u$ per $z^{4}$ per calcolare il valore di $z$ dopo lo shift a destra.

$z_{2} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Passaggio 31

Trova il valore di $θ$ per $r = 3$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (3)$

Passaggio 32

Risolvi l'equazione per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 32.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 32.1.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π$

Passaggio 32.1.2

Per scrivere $6 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 32.1.3

$6 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{6 π \cdot 2}{2}$

Passaggio 32.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 θ = \frac{π + 6 π \cdot 2}{2}$

Passaggio 32.1.5

Moltiplica $2$ per $6$ .

$4 θ = \frac{π + 12 π}{2}$

Passaggio 32.1.6

Somma $π$ e $12 π$ .

$4 θ = \frac{13 π}{2}$

Passaggio 32.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 θ = \frac{13 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 32.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 θ = \frac{13 π}{2}$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Passaggio 32.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 32.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 32.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Passaggio 32.2.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Passaggio 32.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 32.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 32.2.3.2

Moltiplica $\frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 32.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{13 π}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{13 π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 32.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$θ = \frac{13 π}{8}$

Passaggio 33

Utilizza i valori di $θ$ e $r$ per trovare una soluzione all'equazione $u^{4} = 81 i$ .

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{13 π}{8}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Passaggio 34

Converti la soluzione sotto forma rettangolare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{13 π}{8})$ è $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.1.1.1

Riscrivi $\frac{13 π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Passaggio 34.1.1.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{3} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Passaggio 34.1.1.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il coseno è positivo nel quarto quadrante.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Passaggio 34.1.1.4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.1.1.4.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Passaggio 34.1.1.4.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Passaggio 34.1.1.4.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Passaggio 34.1.1.4.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Passaggio 34.1.1.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Passaggio 34.1.1.4.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Passaggio 34.1.1.4.7

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.1.1.4.7.1

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Passaggio 34.1.1.4.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Passaggio 34.1.1.4.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Passaggio 34.1.1.4.9

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.1.1.4.9.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Passaggio 34.1.1.4.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Passaggio 34.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{13 π}{8})$ è $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.1.2.1

Riscrivi $\frac{13 π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}))$

Passaggio 34.1.2.2

Applica la formula di bisezione per il seno.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Passaggio 34.1.2.3

Cambia $\pm$ in $-$ , poiché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Passaggio 34.1.2.4

Semplifica $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.1.2.4.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Passaggio 34.1.2.4.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Passaggio 34.1.2.4.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Passaggio 34.1.2.4.4

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.1.2.4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}))$

Passaggio 34.1.2.4.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Passaggio 34.1.2.4.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Passaggio 34.1.2.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Passaggio 34.1.2.4.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Passaggio 34.1.2.4.8

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.1.2.4.8.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Passaggio 34.1.2.4.8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}))$

Passaggio 34.1.2.4.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Passaggio 34.1.2.4.10

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.1.2.4.10.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Passaggio 34.1.2.4.10.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Passaggio 34.1.3

$i$ e $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Passaggio 34.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Passaggio 34.2.2

$3$ e $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Passaggio 35

Sostituisci $u$ per $z^{4}$ per calcolare il valore di $z$ dopo lo shift a destra.

$z_{3} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Passaggio 36

Queste sono le soluzioni complesse di $u^{4} = 81 i$ .

$z_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

$z_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$