Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 20 x + 16$

Passaggio 1

Imposta $x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 20 x + 16$ uguale a $0$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 20 x + 16 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$- 5 x^{3} - 20 x + x^{4} + 8 x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $- 5 x$ da $- 5 x^{3} - 20 x$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $- 5 x$ da $- 5 x^{3}$ .

$- 5 x \cdot x^{2} - 20 x + x^{4} + 8 x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $- 5 x$ da $- 20 x$ .

$- 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot 4 + x^{4} + 8 x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $- 5 x$ da $- 5 x (x^{2}) - 5 x (4)$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + x^{4} + 8 x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} + 16 = 0$

Passaggio 2.1.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 8 u + 16 = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1.5.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 8 u + 4^{2} = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Passaggio 2.1.5.3

Riscrivi il polinomio.

$- 5 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Passaggio 2.1.5.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 4$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + {(u + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 2.1.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 5 x (x^{2} + 4) + {(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 2.1.7

Scomponi $x^{2} + 4$ da $- 5 x (x^{2} + 4) + {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.7.1

Scomponi $x^{2} + 4$ da $- 5 x (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 5 x) + {(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 2.1.7.2

Scomponi $x^{2} + 4$ da ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (- 5 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 2.1.7.3

Scomponi $x^{2} + 4$ da $(x^{2} + 4) (- 5 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 5 x + x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 2.1.8

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$(x^{2} + 4) (- 5 u + u^{2} + 4) = 0$

Passaggio 2.1.9

Scomponi $- 5 u + u^{2} + 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $4$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 4, - 1$

Passaggio 2.1.9.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x^{2} + 4) ((u - 4) (u - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.10

Scomponi.

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Passaggio 2.1.10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(x^{2} + 4) ((x - 4) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x^{2} + 4) (x - 4) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x^{2} + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x^{2} + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $x^{2} + 4 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 4$

Passaggio 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Passaggio 2.3.2.3.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 2.3.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 2.3.2.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.3.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 2$

Passaggio 2.3.2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 2 i$

Passaggio 2.3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.3.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 i$

Passaggio 2.3.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 i$

Passaggio 2.3.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 i, - 2 i$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} + 4) (x - 4) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 2 i, - 2 i, 4, 1$

Passaggio 3