Precalcolo Esempi

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(5) \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

Passaggio 1.2

$\frac{5}{2}$ e $i$ .

$- \frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i}{2}$

Passaggio 2

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 3

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi di $a = - \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ e $b = \frac{5}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5

Trova $| z |$ .

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Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 5.4.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 5.4.3

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 5.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.5.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + 1 (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.6.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.6.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 5.6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.6.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.6.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.6.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.6.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.6.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

Passaggio 5.6.2.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

Passaggio 5.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.7.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{4}}$

Passaggio 5.7.2

Moltiplica $25$ per $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{75}{4}}$

Passaggio 5.7.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$| z | = \sqrt{\frac{25 + 75}{4}}$

Passaggio 5.7.4

Somma $25$ e $75$ .

$| z | = \sqrt{\frac{100}{4}}$

Passaggio 5.7.5

Dividi $100$ per $4$ .

$| z | = \sqrt{25}$

Passaggio 5.7.6

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$| z | = \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 5.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 5$

Passaggio 6

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}})$

Passaggio 7

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}}$ produce un angolo nel secondo quadrante, il valore dell'angolo è $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori di $θ = \frac{5 π}{6}$ e $| z | = 5$ .

$5 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$