Precalcolo Esempi

${(4 + 4 i)}^{5}$

Passaggio 1

Usa il teorema binomiale.

$4^{5} + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $4^{4}$ per $4$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Sposta $4$ .

$1024 + 5 \cdot (4 \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica $4$ per $4^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $1$ .

$1024 + 5 \cdot (4^{1} \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1024 + 5 \cdot 4^{1 + 4} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.2.3

Somma $1$ e $4$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{5} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$1024 + 5 \cdot 1024 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $5$ per $1024$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 64 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $10$ per $64$ .

$1024 + 5120 i + 640 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.7

Applica la regola del prodotto a $4 i$ .

$1024 + 5120 i + 640 (4^{2} i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.8

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$1024 + 5120 i + 640 (16 i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.9

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1024 + 5120 i + 640 (16 \cdot - 1) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.10

Moltiplica $640 (16 \cdot - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$1024 + 5120 i + 640 \cdot - 16 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.10.2

Moltiplica $640$ per $- 16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.11

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 16 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.12

Moltiplica $10$ per $16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.13

Applica la regola del prodotto a $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (4^{3} i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.14

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.15

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.16

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.17

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.18

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (- 64 i) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.19

Moltiplica $- 64$ per $160$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.20

Moltiplica $5$ per $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.21

Applica la regola del prodotto a $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (4^{4} i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.22

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.23

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.23.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(i^{2})}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.23.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(- 1)}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.23.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 \cdot 1) + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.24

Moltiplica $20 (256 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.24.1

Moltiplica $256$ per $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 \cdot 256 + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.24.2

Moltiplica $20$ per $256$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + {(4 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.25

Applica la regola del prodotto a $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 4^{5} i^{5}$

Passaggio 2.1.26

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i^{5}$

Passaggio 2.1.27

Metti in evidenza $i^{4}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (i^{4} i)$

Passaggio 2.1.28

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.28.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(i^{2})}^{2} i)$

Passaggio 2.1.28.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(- 1)}^{2} i)$

Passaggio 2.1.28.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (1 i)$

Passaggio 2.1.29

Moltiplica $i$ per $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i$

Passaggio 2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $10240$ da $1024$ .

$- 9216 + 5120 i - 10240 i + 5120 + 1024 i$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 9216$ e $5120$ .

$- 4096 + 5120 i - 10240 i + 1024 i$

Passaggio 2.2.3

Sottrai $10240 i$ da $5120 i$ .

$- 4096 - 5120 i + 1024 i$

Passaggio 2.2.4

Somma $- 5120 i$ e $1024 i$ .

$- 4096 - 4096 i$

Passaggio 3

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 4

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi di $a = - 4096$ e $b = - 4096$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4096)}^{2} + {(- 4096)}^{2}}$

Passaggio 6

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Eleva $- 4096$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + {(- 4096)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Eleva $- 4096$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + 16777216}$

Passaggio 6.3

Somma $16777216$ e $16777216$ .

$| z | = \sqrt{33554432}$

Passaggio 6.4

Riscrivi $33554432$ come $4096^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $16777216$ da $33554432$ .

$| z | = \sqrt{16777216 (2)}$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi $16777216$ come $4096^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4096^{2} \cdot 2}$

Passaggio 6.5

Estrai i termini dal radicale.

$| z | = 4096 \sqrt{2}$

Passaggio 7

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{- 4096}{- 4096})$

Passaggio 8

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{- 4096}{- 4096}$ produce un angolo nel terzo quadrante, il valore dell'angolo è $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 9

Sostituisci i valori di $θ = \frac{5 π}{4}$ e $| z | = 4096 \sqrt{2}$ .

$4096 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$