Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{5} - 3 x^{4} - 13 x^{3} + 18 x^{2} - 17 x + 12}{x - 5}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{5} - 3 x^{4} - 13 x^{3} + 18 x^{2} - 17 x + 12}{x - 5}$ è indefinita.

$x = 5$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 5$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{5}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{4}$
	$x$	-	$5$		$x^{5}$	-	$3 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$17 x$	+	$12$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{5} - 5 x^{4}$

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

Passaggio 5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

Passaggio 5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

Passaggio 5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

Passaggio 5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{4} - 10 x^{3}$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

Passaggio 5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

Passaggio 5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

Passaggio 5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

Passaggio 5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

Passaggio 5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x^{3} + 15 x^{2}$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

Passaggio 5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

Passaggio 5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

Passaggio 5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

Passaggio 5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

Passaggio 5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{2} - 15 x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

Passaggio 5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

Passaggio 5.21

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

Passaggio 5.22

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

Passaggio 5.23

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

$2 x$

$10$

Passaggio 5.24

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x + 10$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

$2 x$

$10$

Passaggio 5.25

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

$2 x$

$10$

$2$

Passaggio 5.26

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2 + \frac{2}{x - 5}$

Passaggio 5.27

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 5$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2$

Passaggio 7