Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{5 x^{4} - 7}{2 x + 3}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{5 x^{4} - 7}{2 x + 3}$ è indefinita.

$x = - \frac{3}{2}$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 4$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{4} + \frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

Passaggio 5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

Passaggio 5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- \frac{15 x^{3}}{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

Passaggio 5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

Passaggio 5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- \frac{15 x^{3}}{2} - \frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

Passaggio 5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

Passaggio 5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

Passaggio 5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $\frac{45 x^{2}}{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

Passaggio 5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

Passaggio 5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $\frac{45 x^{2}}{4} + \frac{135 x}{8}$

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

Passaggio 5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

Passaggio 5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

$7$

Passaggio 5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- \frac{135 x}{8}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$\frac{135}{16}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

$7$

Passaggio 5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$\frac{135}{16}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

$7$

$\frac{135 x}{8}$

$\frac{405}{16}$

Passaggio 5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- \frac{135 x}{8} - \frac{405}{16}$

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$\frac{135}{16}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

$7$

$\frac{135 x}{8}$

$\frac{405}{16}$

Passaggio 5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$\frac{135}{16}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

$7$

$\frac{135 x}{8}$

$\frac{405}{16}$

$\frac{293}{16}$

Passaggio 5.21

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{5 x^{3}}{2} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{45 x}{8} - \frac{135}{16} + \frac{293}{16 (2 x + 3)}$

Passaggio 5.22

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = \frac{5 x^{3}}{2} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{45 x}{8} - \frac{135}{16}$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - \frac{3}{2}$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = \frac{5 x^{3}}{2} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{45 x}{8} - \frac{135}{16}$

Passaggio 7