Precalcolo Esempi

$9 x^{2} + 9 y^{2} - 6 x + 24 y = 19$

Passaggio 1

Dividi entrambi i lati dell'equazione per $9$ .

$x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$

Passaggio 2

Completa il quadrato per $x^{2} - \frac{2 x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = 0$

Passaggio 2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 1$ e $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.3.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.1.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.1.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.1.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.1.1.6

Moltiplica $\frac{4}{9}$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 2.4.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 2.4.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{1}{9}$

Passaggio 2.4.2.2

Sottrai $\frac{1}{9}$ da $0$ .

$e = - \frac{1}{9}$

Passaggio 2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di ${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$

Passaggio 3

Sostituisci ${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ a $x^{2} - \frac{2 x}{3}$ nell'equazione $x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9} + y^{2} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$

Passaggio 4

Sposta $- \frac{1}{9}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{1}{9}$ a entrambi i lati.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + y^{2} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9}$

Passaggio 5

Completa il quadrato per $y^{2} + \frac{8 y}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{8}{3}$

$c = 0$

Passaggio 5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{8}{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 (1)}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{4}{3}$

Passaggio 5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{8}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{8}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{8^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.4.2.1.1.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{64}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.4.2.1.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{64}{9}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{64}{9}}{4}$

Passaggio 5.4.2.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = 0 - (\frac{64}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 5.4.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $64$ .

$e = 0 - (\frac{4 (16)}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 5.4.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 16}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 5.4.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{16}{9}$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai $\frac{16}{9}$ da $0$ .

$e = - \frac{16}{9}$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di ${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$ .

${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$

Passaggio 6

Sostituisci ${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$ a $y^{2} + \frac{8 y}{3}$ nell'equazione $x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9}$

Passaggio 7

Sposta $- \frac{16}{9}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{16}{9}$ a entrambi i lati.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9} + \frac{16}{9}$

Passaggio 8

Semplifica $\frac{19}{9} + \frac{1}{9} + \frac{16}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{19 + 1 + 16}{9}$

Passaggio 8.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Somma $19$ e $1$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{20 + 16}{9}$

Passaggio 8.2.2

Somma $20$ e $16$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{36}{9}$

Passaggio 8.2.3

Dividi $36$ per $9$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = 4$