Precalcolo Esempi

$\sqrt{3} \cos (2 x) = 2 \sin (x) \cos (2 x)$

Passaggio 1

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 2 \sin (x) \cos (2 x)$

Passaggio 2

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Passaggio 3

Sottrai $2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) (- \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Sposta $\sin^{2} (x)$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 4.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1 = 0$

Passaggio 4.1.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \sin^{3} (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x) = 0$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Fattorizza $\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x) = 0$

Passaggio 5.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 5.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$(\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$

Passaggio 5.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$

Passaggio 5.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

$\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 5.3

Imposta $\cos (x) + \sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta $\cos (x) + \sin (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi $\cos (x) + \sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.3.2.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.3.2.4

Frazioni separate.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 5.3.2.5

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 5.3.2.6

Dividi $0$ per $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 5.3.2.7

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Passaggio 5.3.2.8

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 5.3.2.9

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 5.3.2.10

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.10.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.3.2.11

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 5.3.2.12

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.12.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 5.3.2.12.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.3.2.13

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.13.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 5.3.2.13.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 5.3.2.13.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 5.3.2.13.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 5.3.2.14

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.14.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 5.3.2.14.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.3.2.14.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.14.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.3.2.14.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 5.3.2.14.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.14.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 5.3.2.14.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.3.2.14.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.3.2.15

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.4

Imposta $\cos (x) - \sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $\cos (x) - \sin (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $\cos (x) - \sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.4.2.3

Frazioni separate.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.4.2.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.4.2.5

Dividi $- 1$ per $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.4.2.6

Frazioni separate.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 5.4.2.7

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 5.4.2.8

Dividi $0$ per $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 5.4.2.9

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Passaggio 5.4.2.10

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (x) = - 1$

Passaggio 5.4.2.11

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.11.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.4.2.11.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.11.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.4.2.11.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.4.2.11.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.11.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Passaggio 5.4.2.12

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (1)$

Passaggio 5.4.2.13

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.13.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 5.4.2.14

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 5.4.2.15

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.15.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 5.4.2.15.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.15.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 5.4.2.15.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 5.4.2.15.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.15.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 5.4.2.15.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 5.4.2.16

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.16.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 5.4.2.16.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 5.4.2.16.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 5.4.2.16.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 5.4.2.17

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.5

Imposta $\sqrt{3} - 2 \sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $\sqrt{3} - 2 \sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $\sqrt{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 5.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.5.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 5.5.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 5.5.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Passaggio 5.5.2.6

Semplifica $π - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 5.5.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.6.2.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 5.5.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 5.5.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.6.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Passaggio 5.5.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 5.5.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.5.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.5.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.5.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.5.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$ vera.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Consolida le risposte.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Combina $\frac{3 π}{4} + π n$ e $\frac{π}{4} + π n$ in $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6.2

Combina $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ in $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7