Precalcolo Esempi

$z^{6} = i$

Passaggio 1

Sostituisci $z^{6}$ per $u$ .

$u^{6} = i$

Passaggio 2

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 3

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi di $a = 0$ e $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Passaggio 5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 1$

Passaggio 6

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{1}{0})$

Passaggio 7

Poiché l'argomento è indefinito e $b$ è positivo, l'angolo del punto sul piano complesso è $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori di $θ = \frac{π}{2}$ e $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 9

Sostituisci il lato destro dell'equazione con la forma trigonometrica.

$u^{6} = \cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10

Utilizza la formula di de Moivre per determinare un'equazione per $u$ .

$r^{6} (c o s (6 θ) + i s i n (6 θ)) = i = \cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 11

Fai equivalere il modulo della forma trigonometrica a $r^{6}$ per trovare il valore di $r$ .

$r^{6} = 1$

Passaggio 12

Risolvi l'equazione per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[6]{1}$

Passaggio 12.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$r = \pm 1$

Passaggio 12.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$r = 1$

Passaggio 12.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$r = - 1$

Passaggio 12.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$r = 1, - 1$

Passaggio 13

Trova il valore approssimativo di $r$ .

$r = 1$

Passaggio 14

Trova i possibili valori di $θ$ .

$c o s (6 θ) = c o s (2 π n)$ e $s i n (6 θ) = s i n (2 π n)$

Passaggio 15

Trovando tutti i possibili valori di $θ$ si ottiene l'equazione $6 θ = 2 π n$ .

$6 θ = 2 π n$

Passaggio 16

Trova il valore di $θ$ per $r = 0$ .

$6 θ = 2 π (0)$

Passaggio 17

Risolvi l'equazione per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Moltiplica $2 π \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$6 θ = 0 π$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$6 θ = 0$

Passaggio 17.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 θ = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 θ = 0$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 17.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 17.2.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{0}{6}$

Passaggio 17.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.3.1

Dividi $0$ per $6$ .

$θ = 0$

Passaggio 18

Utilizza i valori di $θ$ e $r$ per trovare una soluzione all'equazione $u^{6} = i$ .

$u_{0} = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

Passaggio 19

Converti la soluzione sotto forma rettangolare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Moltiplica $\cos (0) + i \sin (0)$ per $1$ .

$u_{0} = \cos (0) + i \sin (0)$

Passaggio 19.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{0} = 1 + i \sin (0)$

Passaggio 19.2.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{0} = 1 + i \cdot 0$

Passaggio 19.2.3

Moltiplica $i$ per $0$ .

$u_{0} = 1 + 0$

Passaggio 19.3

Somma $1$ e $0$ .

$u_{0} = 1$

Passaggio 20

Sostituisci $u$ per $z^{6}$ per calcolare il valore di $z$ dopo lo shift a destra.

$z_{0} = 0 + 1$

Passaggio 21

Trova il valore di $θ$ per $r = 1$ .

$6 θ = 2 π (1)$

Passaggio 22

Risolvi l'equazione per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$6 θ = 2 π$

Passaggio 22.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 θ = 2 π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 θ = 2 π$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{2 π}{6}$

Passaggio 22.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{2 π}{6}$

Passaggio 22.2.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{2 π}{6}$

Passaggio 22.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$θ = \frac{2 (π)}{6}$

Passaggio 22.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$θ = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 22.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 22.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \frac{π}{3}$

Passaggio 23

Utilizza i valori di $θ$ e $r$ per trovare una soluzione all'equazione $u^{6} = i$ .

$u_{1} = 1 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$

Passaggio 24

Converti la soluzione sotto forma rettangolare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1

Moltiplica $\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})$ per $1$ .

$u_{1} = \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 24.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 24.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 24.2.3

$i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 25

Sostituisci $u$ per $z^{6}$ per calcolare il valore di $z$ dopo lo shift a destra.

$z_{1} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 26

Trova il valore di $θ$ per $r = 2$ .

$6 θ = 2 π (2)$

Passaggio 27

Risolvi l'equazione per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$6 θ = 4 π$

Passaggio 27.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 θ = 4 π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 θ = 4 π$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{4 π}{6}$

Passaggio 27.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{4 π}{6}$

Passaggio 27.2.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{4 π}{6}$

Passaggio 27.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $4 π$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{6}$

Passaggio 27.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Passaggio 27.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Passaggio 27.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 28

Utilizza i valori di $θ$ e $r$ per trovare una soluzione all'equazione $u^{6} = i$ .

$u_{2} = 1 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Passaggio 29

Converti la soluzione sotto forma rettangolare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.1

Moltiplica $\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$ per $1$ .

$u_{2} = \cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 29.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 29.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$u_{2} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 29.2.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 29.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 29.2.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 29.2.5

$i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 30

Sostituisci $u$ per $z^{6}$ per calcolare il valore di $z$ dopo lo shift a destra.

$z_{2} = 0 - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 31

Trova il valore di $θ$ per $r = 3$ .

$6 θ = 2 π (3)$

Passaggio 32

Risolvi l'equazione per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 32.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 θ = 6 π$

Passaggio 32.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 θ = 6 π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 32.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 θ = 6 π$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{6 π}{6}$

Passaggio 32.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 32.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 32.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{6 π}{6}$

Passaggio 32.2.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{6 π}{6}$

Passaggio 32.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 32.2.3.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 32.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \frac{6 π}{6}$

Passaggio 32.2.3.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$θ = π$

Passaggio 33

Utilizza i valori di $θ$ e $r$ per trovare una soluzione all'equazione $u^{6} = i$ .

$u_{3} = 1 (\cos (π) + i \sin (π))$

Passaggio 34

Converti la soluzione sotto forma rettangolare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.1

Moltiplica $\cos (π) + i \sin (π)$ per $1$ .

$u_{3} = \cos (π) + i \sin (π)$

Passaggio 34.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$u_{3} = - \cos (0) + i \sin (π)$

Passaggio 34.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{3} = - 1 \cdot 1 + i \sin (π)$

Passaggio 34.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{3} = - 1 + i \sin (π)$

Passaggio 34.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$u_{3} = - 1 + i \sin (0)$

Passaggio 34.2.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{3} = - 1 + i \cdot 0$

Passaggio 34.2.6

Moltiplica $i$ per $0$ .

$u_{3} = - 1 + 0$

Passaggio 34.3

Somma $- 1$ e $0$ .

$u_{3} = - 1$

Passaggio 35

Sostituisci $u$ per $z^{6}$ per calcolare il valore di $z$ dopo lo shift a destra.

$z_{3} = 0 - 1$

Passaggio 36

Trova il valore di $θ$ per $r = 4$ .

$6 θ = 2 π (4)$

Passaggio 37

Risolvi l'equazione per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 37.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$6 θ = 8 π$

Passaggio 37.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 θ = 8 π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 37.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 θ = 8 π$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{8 π}{6}$

Passaggio 37.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 37.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 37.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{8 π}{6}$

Passaggio 37.2.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{8 π}{6}$

Passaggio 37.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 37.2.3.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 37.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $8 π$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{6}$

Passaggio 37.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 37.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{2 (3)}$

Passaggio 37.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \frac{2 (4 π)}{2 \cdot 3}$

Passaggio 37.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 38

Utilizza i valori di $θ$ e $r$ per trovare una soluzione all'equazione $u^{6} = i$ .

$u_{4} = 1 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$

Passaggio 39

Converti la soluzione sotto forma rettangolare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 39.1

Moltiplica $\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$ per $1$ .

$u_{4} = \cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 39.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 39.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$u_{4} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 39.2.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 39.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Passaggio 39.2.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 39.2.5

$i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 40

Sostituisci $u$ per $z^{6}$ per calcolare il valore di $z$ dopo lo shift a destra.

$z_{4} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 41

Trova il valore di $θ$ per $r = 5$ .

$6 θ = 2 π (5)$

Passaggio 42

Risolvi l'equazione per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 42.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$6 θ = 10 π$

Passaggio 42.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 θ = 10 π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 42.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 θ = 10 π$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{10 π}{6}$

Passaggio 42.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 42.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 42.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{10 π}{6}$

Passaggio 42.2.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{10 π}{6}$

Passaggio 42.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 42.2.3.1

Elimina il fattore comune di $10$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 42.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $10 π$ .

$θ = \frac{2 (5 π)}{6}$

Passaggio 42.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 42.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$θ = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Passaggio 42.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Passaggio 42.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 43

Utilizza i valori di $θ$ e $r$ per trovare una soluzione all'equazione $u^{6} = i$ .

$u_{5} = 1 (\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

Passaggio 44

Converti la soluzione sotto forma rettangolare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 44.1

Moltiplica $\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$ per $1$ .

$u_{5} = \cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 44.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 44.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$u_{5} = \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 44.2.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 44.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$u_{5} = \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Passaggio 44.2.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 44.2.5

$i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 45

Sostituisci $u$ per $z^{6}$ per calcolare il valore di $z$ dopo lo shift a destra.

$z_{5} = 0 + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 46

Queste sono le soluzioni complesse di $u^{6} = i$ .

$z_{0} = 1$

$z_{1} = \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{3} = - 1$

$z_{4} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{5} = \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$