Precalcolo Esempi

$1 + \cot^{2} (- θ) = \csc^{2} (θ)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$1 + \cot^{2} (- θ)$

Passaggio 2

Poiché $\cot (- θ)$ è una funzione dispari, riscrivi $\cot (- θ)$ come $- \cot (θ)$ .

$1 + {(- \cot (θ))}^{2}$

Passaggio 3

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 3.1

Scrivi $\cot (θ)$ in seno e coseno usando l'identità quoziente.

$1 + {(- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$1 + {(- 1)}^{2} \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 1 \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$ per $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Passaggio 4

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \sin (θ)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{\sin (θ)}^{2} + (1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$

Passaggio 6

Riscrivi $\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$ come $\csc^{2} (θ)$ .

$\csc^{2} (θ)$

Passaggio 7

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$1 + \cot^{2} (- θ) = \csc^{2} (θ)$ è un'identità