Precalcolo Esempi

$9 y^{2} - x^{2} + 2 x + 54 y + 62 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $62$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 y^{2} - x^{2} + 2 x + 54 y = - 62$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $9 y^{2} + 54 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $54$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{27}{9}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $27$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{3}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$d = 3$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $54$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $2916$ per $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $81$ .

$e = 0 - 81$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $81$ da $0$ .

$e = - 81$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Passaggio 1.3

Sostituisci $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ a $9 y^{2} + 54 y$ nell'equazione $9 y^{2} - x^{2} + 2 x + 54 y = - 62$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81 - x^{2} + 2 x = - 62$

Passaggio 1.4

Sposta $- 81$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $81$ a entrambi i lati.

$9 {(y + 3)}^{2} - x^{2} + 2 x = - 62 + 81$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $- x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 1.5.3.2.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.5.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $4$ per $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$e = 1$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$- {(x - 1)}^{2} + 1$

Passaggio 1.6

Sostituisci $- {(x - 1)}^{2} + 1$ a $- x^{2} + 2 x$ nell'equazione $9 y^{2} - x^{2} + 2 x + 54 y = - 62$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 1)}^{2} + 1 = - 62 + 81$

Passaggio 1.7

Sposta $1$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $1$ a entrambi i lati.

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 62 + 81 - 1$

Passaggio 1.8

Semplifica $- 62 + 81 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $- 62$ e $81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = 19 - 1$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $1$ da $19$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = 18$

Passaggio 1.9

Dividi per $18$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{9 {(y + 3)}^{2}}{18} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(y + 3)}^{2}}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{18} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = \sqrt{2}$

$b = 3 \sqrt{2}$

$k = - 3$

$h = 1$

Passaggio 4

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot (x - (1)) - 3$

Passaggio 5

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{1}{3} \cdot (x - (1)) - 3$

Passaggio 5.2

Semplifica $\frac{1}{3} \cdot (x - (1)) - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot (x - 1) - 3$

Passaggio 5.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 3$

Passaggio 5.2.1.3

$\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 3$

Passaggio 5.2.1.4

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} - 3$

Passaggio 5.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} - 3$

Passaggio 5.2.2

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 5.2.3

$- 3$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1 - 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1 - 9}{3}$

Passaggio 5.2.5.2

Sottrai $9$ da $- 1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 10}{3}$

Passaggio 5.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

Passaggio 6

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x - (1)) - 3$

Passaggio 6.2

Semplifica $- \frac{1}{3} \cdot (x - (1)) - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x - 1) - 3$

Passaggio 6.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} \cdot - 1 - 3$

Passaggio 6.2.1.3

$x$ e $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1 - 3$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x}{3} + 1 (\frac{1}{3}) - 3$

Passaggio 6.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} - 3$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 6.2.3

$- 3$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 6.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{1 - 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{1 - 9}{3}$

Passaggio 6.2.5.2

Sottrai $9$ da $1$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Passaggio 6.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Passaggio 7

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{x}{3} - \frac{10}{3}, y = - \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Passaggio 8

Gli asintoti sono $y = \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$ e $y = - \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$ .

Asintoti: $y = \frac{x}{3} - \frac{10}{3}, y = - \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Passaggio 9