Precalcolo Esempi

$x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} x - 2 y - 5 = 0$

Passaggio 1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} x - 2 y = 5$

Passaggio 2

Completa il quadrato per $x^{2} + \frac{1}{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x^{2} + \frac{x}{2}$

Passaggio 2.2

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 0$

Passaggio 2.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.1.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$e = 0 - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.1.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Passaggio 2.5.2.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = 0 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 2.5.2.1.4

Moltiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.1.4.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{16}$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $\frac{1}{16}$ da $0$ .

$e = - \frac{1}{16}$

Passaggio 2.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di ${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$

Passaggio 3

Sostituisci ${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ a $x^{2} + \frac{1}{2} x$ nell'equazione $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} x - 2 y = 5$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} + y^{2} - 2 y = 5$

Passaggio 4

Sposta $- \frac{1}{16}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{1}{16}$ a entrambi i lati.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + y^{2} - 2 y = 5 + \frac{1}{16}$

Passaggio 5

Completa il quadrato per $y^{2} - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Passaggio 5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 5.3.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Passaggio 5.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Passaggio 5.4.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e = 0 - 1$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$e = - 1$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di ${(y - 1)}^{2} - 1$ .

${(y - 1)}^{2} - 1$

Passaggio 6

Sostituisci ${(y - 1)}^{2} - 1$ a $y^{2} - 2 y$ nell'equazione $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} x - 2 y = 5$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 1 = 5 + \frac{1}{16}$

Passaggio 7

Sposta $- 1$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $1$ a entrambi i lati.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5 + \frac{1}{16} + 1$

Passaggio 8

Semplifica $5 + \frac{1}{16} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Scrivi $5$ come una frazione con denominatore $1$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{1} + \frac{1}{16} + 1$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $\frac{5}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{16} + 1$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica $\frac{5}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16} + 1$

Passaggio 8.1.4

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{1}$

Passaggio 8.1.5

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Passaggio 8.1.6

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{16}{16}$

Passaggio 8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5 \cdot 16 + 1 + 16}{16}$

Passaggio 8.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica $5$ per $16$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{80 + 1 + 16}{16}$

Passaggio 8.3.2

Somma $80$ e $1$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{81 + 16}{16}$

Passaggio 8.3.3

Somma $81$ e $16$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{97}{16}$

Passaggio 9

Questa è la forma di un cerchio. Usa la forma per determinare il centro e il raggio del cerchio.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Passaggio 10

Abbina i valori di questo cerchio a quelli della forma standard. La variabile $r$ rappresenta il raggio del cerchio, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$r = \frac{\sqrt{97}}{4}$

$h = - \frac{1}{4}$

$k = 1$

Passaggio 11

Il centro di un cerchio si trova a $(h, k)$ .

Centro: $(- \frac{1}{4}, 1)$

Passaggio 12

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un cerchio.

Centro: $(- \frac{1}{4}, 1)$

Raggio: $\frac{\sqrt{97}}{4}$

Passaggio 13