Precalcolo Esempi

$n (t) = \frac{1}{t} + \frac{3}{t^{2}} + \frac{2}{t^{3}} + 4$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{t} + \frac{3}{t^{2}} + \frac{2}{t^{3}} + 4$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{1}{t}$ come $t^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- t^{- 2} + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{3}{t^{2}}$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$- t^{- 2} + 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{t^{2}}$ come ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$- t^{- 2} + 3 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $t^{2}$ .

$- t^{- 2} + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- t^{- 2} + 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $t^{2}$ .

$- t^{- 2} + 3 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- t^{- 2} + 3 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- t^{- 2} + 3 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- t^{- 2} + 3 (- t^{- 4} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- t^{- 2} + 3 (- 2 t^{- 4} t) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 3.7

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$- t^{- 2} + 3 (- 2 (t^{1} t^{- 4})) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- t^{- 2} + 3 (- 2 t^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$- t^{- 2} + 3 (- 2 t^{- 3}) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 3.10

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}]$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{2}{t^{3}}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\frac{1}{t^{3}}$ come ${(t^{3})}^{- 1}$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t^{3}$ .

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Passaggio 4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $t^{3}$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $t^{3}$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{3})}^{- 2}$ .

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Passaggio 4.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- t^{- 6} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 4.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- 3 t^{- 6} t^{2}) + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 4.7

Moltiplica $t^{- 6}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.7.1

Sposta $t^{2}$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- 3 (t^{2} t^{- 6})) + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 4.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- 3 t^{2 - 6}) + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 4.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- 3 t^{- 4}) + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 4.8

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} - 6 t^{- 4} + \frac{d}{d t} [4]$

Passaggio 5

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} - 6 t^{- 4} + 0$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} - 6 t^{- 3} - 6 t^{- 4} + 0$

Passaggio 6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} - 6 \frac{1}{t^{3}} - 6 t^{- 4} + 0$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} - 6 \frac{1}{t^{3}} - 6 \frac{1}{t^{4}} + 0$

Passaggio 6.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.4.1

$- 6$ e $\frac{1}{t^{3}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{- 6}{t^{3}} - 6 \frac{1}{t^{4}} + 0$

Passaggio 6.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{t^{2}} - \frac{6}{t^{3}} - 6 \frac{1}{t^{4}} + 0$

Passaggio 6.4.3

$- 6$ e $\frac{1}{t^{4}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} - \frac{6}{t^{3}} + \frac{- 6}{t^{4}} + 0$

Passaggio 6.4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{t^{2}} - \frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t^{4}} + 0$

Passaggio 6.4.5

Somma $- \frac{1}{t^{2}} - \frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t^{4}}$ e $0$ .

$- \frac{1}{t^{2}} - \frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t^{4}}$