Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{144} = 1$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{x^{2}}{25}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{y^{2}}{144} = 1 - \frac{x^{2}}{25}$

Passaggio 2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 144$ .

$- 144 (- \frac{y^{2}}{144}) = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Passaggio 3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica $- 144 (- \frac{y^{2}}{144})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y^{2}}{144}$ nel numeratore.

$- 144 \frac{- y^{2}}{144} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Passaggio 3.1.1.1.2

Scomponi $144$ da $- 144$ .

$144 (- 1) \frac{- y^{2}}{144} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Passaggio 3.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$144 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{144} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Passaggio 3.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- - y^{2} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Passaggio 3.1.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 y^{2} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Passaggio 3.1.1.2.2

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $- 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = - 144 \cdot 1 - 144 (- \frac{x^{2}}{25})$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- 144$ per $1$ .

$y^{2} = - 144 - 144 (- \frac{x^{2}}{25})$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- 144 (- \frac{x^{2}}{25})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 144$ .

$y^{2} = - 144 + 144 \frac{x^{2}}{25}$

Passaggio 3.2.1.3.2

$144$ e $\frac{x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = - 144 + \frac{144 x^{2}}{25}$

Passaggio 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 144 + \frac{144 x^{2}}{25}}$

Passaggio 5

Semplifica $\pm \sqrt{- 144 + \frac{144 x^{2}}{25}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi $144 x^{2}$ come ${(12 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 144 + \frac{{(12 x)}^{2}}{25}}$

Passaggio 5.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 144 + \frac{{(12 x)}^{2}}{5^{2}}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi $\frac{{(12 x)}^{2}}{5^{2}}$ come ${(\frac{12 x}{5})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 144 + {(\frac{12 x}{5})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riscrivi $144$ come $12^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 12^{2} + {(\frac{12 x}{5})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Riordina $- 12^{2}$ e ${(\frac{12 x}{5})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{12 x}{5})}^{2} - 12^{2}}$

Passaggio 5.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{12 x}{5}$ e $b = 12$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{12 x}{5} + 12) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

Passaggio 5.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Scomponi $12$ da $\frac{12 x}{5} + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Scomponi $12$ da $\frac{12 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(12 \frac{x}{5} + 12) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

Passaggio 5.6.1.2

Scomponi $12$ da $12$ .

$y = \pm \sqrt{(12 \frac{x}{5} + 12 (1)) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

Passaggio 5.6.1.3

Scomponi $12$ da $12 \frac{x}{5} + 12 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

Passaggio 5.6.2

Scomponi $12$ da $\frac{12 x}{5} - 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Scomponi $12$ da $\frac{12 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (12 \frac{x}{5} - 12)}$

Passaggio 5.6.2.2

Scomponi $12$ da $- 12$ .

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (12 \frac{x}{5} + 12 (- 1))}$

Passaggio 5.6.2.3

Scomponi $12$ da $12 \frac{x}{5} + 12 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (12 (\frac{x}{5} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) \cdot 12 (\frac{x}{5} - 1)}$

Passaggio 5.6.3

Moltiplica $12$ per $12$ .

$y = \pm \sqrt{144 (\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)}$

Passaggio 5.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{144 (\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)}$

Passaggio 5.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)}$

Passaggio 5.9

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}$

Passaggio 5.10

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}$

Passaggio 5.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} \frac{x - 1 \cdot 5}{5}}$

Passaggio 5.12

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} \frac{x - 5}{5}}$

Passaggio 5.13

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.13.1

$144$ e $\frac{x + 5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{144 (x + 5)}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}}$

Passaggio 5.13.2

Moltiplica $\frac{144 (x + 5)}{5}$ per $\frac{x - 5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{144 (x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}}$

Passaggio 5.13.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{144 (x + 5) (x - 5)}{25}}$

Passaggio 5.14

Riscrivi $\frac{144 (x + 5) (x - 5)}{25}$ come ${(\frac{12}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.14.1

Scomponi la potenza perfetta $12^{2}$ su $144 (x + 5) (x - 5)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{12^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}}$

Passaggio 5.14.2

Scomponi la potenza perfetta $5^{2}$ su $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{12^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 5.14.3

Riordina la frazione $\frac{12^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{12}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}$

Passaggio 5.15

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{12}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 5.16

$\frac{12}{5}$ e $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$y = \pm \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

Passaggio 6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

Passaggio 6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

Passaggio 6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

$y = - \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

$y = \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

$y = - \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

Passaggio 7

Imposta il radicando in $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(x + 5) (x - 5) \geq 0$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Passaggio 8.2

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 8.3

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 8.3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 8.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 5) (x - 5) \geq 0$ vera.

$x = - 5, 5$

Passaggio 8.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

Passaggio 8.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 8.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$((- 8) + 5) ((- 8) - 5) \geq 0$

Passaggio 8.6.1.3

Il lato sinistro di $39$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 8.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 5 < x < 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 5 < x < 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 8.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$((0) + 5) ((0) - 5) \geq 0$

Passaggio 8.6.2.3

Il lato sinistro di $- 25$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 8.6.3.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$((8) + 5) ((8) - 5) \geq 0$

Passaggio 8.6.3.3

Il lato sinistro di $39$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 8.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Vero

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Vero

Passaggio 8.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 5$ o $x \geq 5$

Passaggio 9

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - 5, x \geq 5}$

Passaggio 10

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${y | y \in ℝ}$

Passaggio 11

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $(- \infty, - 5] \cup [5, \infty), {x | x \leq - 5, x \geq 5}$

Intervallo: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Passaggio 12