Precalcolo Esempi

$- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y + 100 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $100$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $- 4 x^{2} + 40 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 4$

$b = 40$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $40$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (- 4)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{20}{- 4}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $20$ e $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$d = \frac{4 (5)}{- 4}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Passaggio 1.2.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$d = - 5$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $40$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$e = 0 - \frac{1600}{- 16}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $1600$ per $- 16$ .

$e = 0 - - 100$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Passaggio 1.2.4.2.2

Somma $0$ e $100$ .

$e = 100$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 4 x^{2} + 40 x$ con $- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$ nell'equazione $- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 100 + 25 y^{2} - 100 y = - 100$

Passaggio 1.4

Sposta $100$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $100$ a entrambi i lati.

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 y^{2} - 100 y = - 100 - 100$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $25 y^{2} - 100 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 100$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 50}{25}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 50$ e $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $25$ da $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.2.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 100$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $10000$ per $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $100$ .

$e = 0 - 100$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $100$ da $0$ .

$e = - 100$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(y - 2)}^{2} - 100$

Passaggio 1.6

Sostituisci $25 y^{2} - 100 y$ con $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ nell'equazione $- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} - 100 = - 100 - 100$

Passaggio 1.7

Sposta $- 100$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $100$ a entrambi i lati.

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 100 - 100 + 100$

Passaggio 1.8

Semplifica $- 100 - 100 + 100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sottrai $100$ da $- 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 200 + 100$

Passaggio 1.8.2

Somma $- 200$ e $100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 100$

Passaggio 1.9

Inverti il segno su ogni termine dell'equazione in modo che il termine sul lato destro sia positivo.

$4 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y - 2)}^{2} = 100$

Passaggio 1.10

Dividi per $100$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{4 {(x - 5)}^{2}}{100} - \frac{25 {(y - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Passaggio 1.11

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 5$

$b = 2$

$k = 2$

$h = 5$

Passaggio 4

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Passaggio 5

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Passaggio 5.2

Semplifica $\frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$y = \frac{2}{5} \cdot (x - 5) + 2$

Passaggio 5.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Passaggio 5.2.1.3

$\frac{2}{5}$ e $x$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Passaggio 5.2.1.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot (5 (- 1)) + 2$

Passaggio 5.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot (5 \cdot - 1) + 2$

Passaggio 5.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{2 x}{5} + 2 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{5} - 2 + 2$

Passaggio 5.2.2

Combina i termini opposti in $\frac{2 x}{5} - 2 + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$y = \frac{2 x}{5} + 0$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $\frac{2 x}{5}$ e $0$ .

$y = \frac{2 x}{5}$

Passaggio 6

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Passaggio 6.2

Semplifica $- \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$y = - \frac{2}{5} \cdot (x - 5) + 2$

Passaggio 6.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Passaggio 6.2.1.3

$x$ e $\frac{2}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Passaggio 6.2.1.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{5}$ nel numeratore.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot - 5 + 2$

Passaggio 6.2.1.4.2

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 1)) + 2$

Passaggio 6.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 1) + 2$

Passaggio 6.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - 2 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + 2 + 2$

Passaggio 6.2.1.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 2 + 2$

Passaggio 6.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Passaggio 7

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{2 x}{5}, y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Passaggio 8

Gli asintoti sono $y = \frac{2 x}{5}$ e $y = - \frac{2 x}{5} + 4$ .

Asintoti: $y = \frac{2 x}{5}, y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Passaggio 9