Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{8} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{8} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 5$

$b = 2 \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 4.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{25 + 2^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{25 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 2^{1}}$

Passaggio 4.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 2}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\sqrt{25 + 8}$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $25$ e $8$ .

$\sqrt{33}$

Passaggio 5

Trova i fuochi.

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Passaggio 5.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\sqrt{33}, 0)$

Passaggio 5.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 5.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \sqrt{33}, 0)$

Passaggio 5.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(\sqrt{33}, 0), (- \sqrt{33}, 0)$

Passaggio 6