Precalcolo Esempi

${(3 x - 4 y)}^{3}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

È possibile usare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di ${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente $n$ e sommando $1$ . I coefficienti corrisponderanno alla retta $n + 1$ del triangolo. Per ${(3 x - 4 y)}^{3}$ , $n = 3$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla retta $4$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a$ $3 x$ e $b$ $- 4 y$ nell'espressione.

$1 {(3 x)}^{3} {(- 4 y)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1

Moltiplica ${(3 x)}^{3}$ per $1$ .

${(3 x)}^{3} {(- 4 y)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$3^{3} x^{3} {(- 4 y)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 x^{3} {(- 4 y)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.4

Applica la regola del prodotto a $- 4 y$ .

$27 x^{3} ({(- 4)}^{0} y^{0}) + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$27 \cdot {(- 4)}^{0} x^{3} y^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$27 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $27$ per $1$ .

$27 x^{3} y^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.8

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$27 x^{3} \cdot 1 + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.9

Moltiplica $27$ per $1$ .

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.10

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) {(- 4 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.11

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.11.1

Sposta $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} {(- 4 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.11.2

Moltiplica $3^{2}$ per $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} {(- 4 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.11.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} {(- 4 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.11.3

Somma $2$ e $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} {(- 4 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.12

Semplifica $3^{3} x^{2} {(- 4 y)}^{1}$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} (- 4 y) + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.13

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$27 x^{3} + 3^{3} \cdot - 4 x^{2} y + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.14

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 x^{3} + 27 \cdot - 4 x^{2} y + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.15

Moltiplica $27$ per $- 4$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} y + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.16

Semplifica.

$27 x^{3} - 108 x^{2} y + 3 (3 x) {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.17

Moltiplica $3$ per $3$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} y + 9 x {(- 4 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.18

Applica la regola del prodotto a $- 4 y$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} y + 9 x ({(- 4)}^{2} y^{2}) + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.19

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$27 x^{3} - 108 x^{2} y + 9 \cdot {(- 4)}^{2} x y^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.20

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} y + 9 \cdot 16 x y^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.21

Moltiplica $9$ per $16$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} y + 144 x y^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.22

Moltiplica ${(3 x)}^{0}$ per $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} y + 144 x y^{2} + {(3 x)}^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.23

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} y + 144 x y^{2} + 3^{0} x^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.24

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} y + 144 x y^{2} + 1 x^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.25

Moltiplica $x^{0}$ per $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} y + 144 x y^{2} + x^{0} {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.26

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} y + 144 x y^{2} + 1 {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.27

Moltiplica ${(- 4 y)}^{3}$ per $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} y + 144 x y^{2} + {(- 4 y)}^{3}$

Passaggio 4.28

Applica la regola del prodotto a $- 4 y$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} y + 144 x y^{2} + {(- 4)}^{3} y^{3}$

Passaggio 4.29

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} y + 144 x y^{2} - 64 y^{3}$