Precalcolo Esempi

$\ln (5 x + 1)$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \ln (5 y + 1)$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\ln (5 y + 1) = x$ .

$\ln (5 y + 1) = x$

Passaggio 2.2

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (5 y + 1)} = e^{x}$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\ln (5 y + 1) = x$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 5 y + 1$

Passaggio 2.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'equazione come $5 y + 1 = e^{x}$ .

$5 y + 1 = e^{x}$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 y = e^{x} - 1$

Passaggio 2.4.3

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y = e^{x} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y = e^{x} - 1$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Passaggio 2.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 y}{5} = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Passaggio 2.4.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Passaggio 2.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$ è l'inverso di $f (x) = \ln (5 x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\ln (5 x + 1))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{e^{\ln (5 x + 1)}}{5} - \frac{1}{5}$

Passaggio 4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{e^{\ln (5 x + 1)} - 1}{5}$

Passaggio 4.2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x + 1 - 1}{5}$

Passaggio 4.2.5

Combina i termini opposti in $5 x + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x + 0}{5}$

Passaggio 4.2.5.2

Somma $5 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x}{5}$

Passaggio 4.2.6

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x}{5}$

Passaggio 4.2.6.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) + 1)$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5}) + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

Passaggio 4.3.3.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5}) + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

Passaggio 4.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

Passaggio 4.3.3.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{5}$ nel numeratore.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (\frac{- 1}{5}) + 1)$

Passaggio 4.3.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (\frac{- 1}{5}) + 1)$

Passaggio 4.3.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} - 1 + 1)$

Passaggio 4.3.4

Combina i termini opposti in $e^{x} - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 0)$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x})$

Passaggio 4.3.5

Usa le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x \ln (e)$

Passaggio 4.3.6

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x \cdot 1$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$ è l'inverso di $f (x) = \ln (5 x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$