Precalcolo Esempi

$f (x) = - x^{2} - 2 x - 1$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = - x^{2} - 2 x - 1$ come un'equazione.

$y = - x^{2} - 2 x - 1$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

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Passaggio 2.1

Completa il quadrato per $- x^{2} - 2 x - 1$ .

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Passaggio 2.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = - 2$

$c = - 1$

Passaggio 2.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 2.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.3.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.3.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot - 1$ come $- - 1$ .

$d = - - 1$

Passaggio 2.1.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$d = 1$

Passaggio 2.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Passaggio 2.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.4.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$e = - 1 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = - 1 - \frac{4}{- 4}$

Passaggio 2.1.4.2.1.3

Dividi $4$ per $- 4$ .

$e = - 1 - - 1$

Passaggio 2.1.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = - 1 + 1$

Passaggio 2.1.4.2.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$e = 0$

Passaggio 2.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(x + 1)}^{2} + 0$ .

$- {(x + 1)}^{2} + 0$

Passaggio 2.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - {(x + 1)}^{2} + 0$

Passaggio 3

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 1$

$h = - 1$

$k = 0$

Passaggio 4

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 5

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 1, 0)$

Passaggio 6

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 6.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 6.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 6.3.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 6.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 7

Trova il fuoco.

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Passaggio 7.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 1, - \frac{1}{4})$

Passaggio 8

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - 1$

Passaggio 9