Precalcolo Esempi

f (x) = - x^{2} - 2 x - 1

$f (x) = - x^{2} - 2 x - 1$

Passaggio 1

Scrivi

$f (x) = - x^{2} - 2 x - 1$ come un'equazione.

$y = - x^{2} - 2 x - 1$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Completa il quadrato per

$- x^{2} - 2 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Utilizza la forma

$a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di

$a$ ,

$b$ e

$c$ .

$a = - 1$

$b = - 2$

$c = - 1$

Passaggio 2.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.3

Trova il valore di

$d$ usando la formula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci i valori di

$a$ e

$b$ nella formula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di

$- 2$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1.1

Scomponi

$2$ da

$- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.3.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di

$\frac{- 1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.3.2.2

Riscrivi

$- 1 \cdot - 1$ come

$- - 1$ .

$d = - - 1$

Passaggio 2.1.3.2.3

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$d = 1$

Passaggio 2.1.4

Trova il valore di

$e$ usando la formula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Sostituisci i valori di

$c$ ,

$b$ e

$a$ nella formula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1.1

Eleva

$- 2$ alla potenza di

$2$ .

$e = - 1 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.4.2.1.2

Moltiplica

$4$ per

$- 1$ .

$e = - 1 - \frac{4}{- 4}$

Passaggio 2.1.4.2.1.3

Dividi

$4$ per

$- 4$ .

$e = - 1 - - 1$

Passaggio 2.1.4.2.1.4

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$e = - 1 + 1$

Passaggio 2.1.4.2.2

Somma

$- 1$ e

$1$ .

$e = 0$

Passaggio 2.1.5

Sostituisci i valori di

$a$ ,

$d$ e

$e$ nella forma del vertice di

$- {(x + 1)}^{2} + 0$ .

$- {(x + 1)}^{2} + 0$

Passaggio 2.2

Imposta

$y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - {(x + 1)}^{2} + 0$

Passaggio 3

Utilizza la forma di vertice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di

$a$ ,

$h$ e

$k$ .

$a = - 1$

$h = - 1$

$k = 0$

Passaggio 4

Poiché il valore di

$a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 5

Trova il vertice

$(h, k)$ .

$(- 1, 0)$

Passaggio 6

Trova

$p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 6.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 6.2

Sostituisci il valore di

$a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di

$1$ e

$- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Riscrivi

$1$ come

$- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 6.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 7

Trova il fuoco.

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Passaggio 7.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando

$p$ alla coordinata y

$k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di

$h$ ,

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$(- 1, - \frac{1}{4})$

Passaggio 8

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - 1$

Passaggio 9