Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4} > 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x^{2} + x - 12 = 0$

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2} + x - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $1$ .

$- 3, 4$

Passaggio 2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 5

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 3, - 4$

Passaggio 7

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Passaggio 7.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 7.3

Riscrivi il polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Passaggio 7.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 8

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 9

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 10

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 3, - 4$

$x = 2$

Passaggio 11

Consolida le soluzioni.

$x = 3, - 4, 2$

Passaggio 12

Trova il dominio di $\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4}$ .

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Passaggio 12.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.2.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 12.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Passaggio 12.2.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 12.2.1.3

Riscrivi il polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Passaggio 12.2.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 12.2.2

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 12.2.3

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 12.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 13

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 14

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 14.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 14.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 6 - 12}{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot - 6 + 4} > 0$

Passaggio 14.1.3

Il lato sinistro di $0.28125$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 14.2

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 14.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(0)}^{2} + 0 - 12}{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4} > 0$

Passaggio 14.2.3

Il lato sinistro di $- 3$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 14.3

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2.5$

Passaggio 14.3.2

Sostituisci $x$ con $2.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(2.5)}^{2} + 2.5 - 12}{{(2.5)}^{2} - 4 \cdot 2.5 + 4} > 0$

Passaggio 14.3.3

Il lato sinistro di $- 13$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 14.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 14.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(6)}^{2} + 6 - 12}{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 4} > 0$

Passaggio 14.4.3

Il lato sinistro di $1.875$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 14.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 4$ Vero

$- 4 < x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

$x < - 4$ Vero

$- 4 < x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

Passaggio 15

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 4$ o $x > 3$

Passaggio 16

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 4) \cup (3, \infty)$

Passaggio 17