Precalcolo Esempi

$\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x + 1} \geq 0$

Passaggio 1

Esegui una moltiplicazione incrociata.

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Passaggio 1.1

Esegui una moltiplicazione incrociata impostando il prodotto del numeratore del lato destro e il denominatore del lato sinistro in modo che siano uguali al prodotto del numeratore del lato sinistro e del denominatore del lato destro.

$0 \cdot (x + 1) \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica $0$ per $x + 1$ .

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

Passaggio 1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica $\sqrt{x^{2} - 1}$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 1.3.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$0 \geq \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 2

Riscrivi in modo che $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 3

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ come ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${((x + 1) (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.1.2

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

${(x (x - 1) + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

${(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

${(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

${(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.1.3.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

${(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

${(x^{2} - x + x - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.1.3.2

Somma $- x$ e $x$ .

${(x^{2} + 0 - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.1.3.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.1.4

Semplifica.

$x^{2} - 1 \leq 0^{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{2} - 1 \leq 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Aggiungi $1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} \leq 1$

Passaggio 5.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Passaggio 5.3

Semplifica l'equazione.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.2.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$| x | \leq 1$

Passaggio 5.4

Scrivi $| x | \leq 1$ a tratti.

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Passaggio 5.4.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 5.4.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq 1$

Passaggio 5.4.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 5.4.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq 1$

Passaggio 5.4.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 5.5

Trova l'intersezione di $x \leq 1$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Passaggio 5.6

Risolvi $- x \leq 1$ dove $x < 0$ .

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Passaggio 5.6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.6.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Passaggio 5.6.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.6.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Passaggio 5.6.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Passaggio 5.6.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.6.1.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$x \geq - 1$

Passaggio 5.6.2

Trova l'intersezione di $x \geq - 1$ e $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Passaggio 5.7

Trova l'unione delle soluzioni.

$- 1 \leq x \leq 1$

Passaggio 6

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$[- 1, 1]$

Passaggio 7