Precalcolo Esempi

$x = y^{2} - 4 y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $y^{2} - 4 y = x$ .

$y^{2} - 4 y = x$

Passaggio 2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 4 y - x = 0$

Passaggio 3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.1.2

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.1.3

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3

Riscrivi $- 4 (- 4 - x)$ come $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.1.2

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.1.3

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.3

Riscrivi $- 4 (- 4 - x)$ come $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.3.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Passaggio 6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.1.2

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.1.3

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.3

Riscrivi $- 4 (- 4 - x)$ come $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.3.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Passaggio 7.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Passaggio 7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Passaggio 8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Passaggio 9

Scambia le variabili. Crea un'equazione per ogni espressione.

$x = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)}, x = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - y)}$

Passaggio 10

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$ .

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$

Passaggio 10.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x - 2$

Passaggio 10.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{- 1 (- 4 - y)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 10.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- 1 (- 4 - y)}$ come ${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- 1 (- 4 - y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

${(- 1 \cdot - 4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

${(4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.4

Moltiplica $- 1 (- y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

${(4 + 1 y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.4.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

${(4 + y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.5

Semplifica.

$4 + y = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 10.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.3.1

Semplifica ${(x - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.3.1.1

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$4 + y = (x - 2) (x - 2)$

Passaggio 10.4.3.1.2

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 + y = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Passaggio 10.4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Passaggio 10.4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Passaggio 10.4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.3.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 + y = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Passaggio 10.4.3.1.3.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$4 + y = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Passaggio 10.4.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$4 + y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Passaggio 10.4.3.1.3.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$4 + y = x^{2} - 4 x + 4$

Passaggio 10.5

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 4$

Passaggio 10.5.2

Combina i termini opposti in $x^{2} - 4 x + 4 - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$y = x^{2} - 4 x + 0$

Passaggio 10.5.2.2

Somma $x^{2} - 4 x$ e $0$ .

$y = x^{2} - 4 x$

Passaggio 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

Passaggio 12

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ è l'inverso di $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ e $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ e confrontali.

Passaggio 12.2

Trova l'intervallo di $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Trova l'intervallo di $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[2, \infty)$

Passaggio 12.2.2

Trova l'intervallo di $2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 2]$

Passaggio 12.2.3

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

L'unione è costituita da tutti gli elementi contenuti in ogni intervallo.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 12.3

Trova il dominio di $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$

Passaggio 12.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- 1 (- 4 - x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 12.3.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{- 4 - x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 12.3.2.1.2.2

Dividi $- 4 - x$ per $1$ .

$- 4 - x \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 12.3.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$- 4 - x \leq 0$

Passaggio 12.3.2.2

Aggiungi $4$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \leq 4$

Passaggio 12.3.2.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 4$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

Passaggio 12.3.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

Passaggio 12.3.2.3.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{4}{- 1}$

Passaggio 12.3.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.3.3.1

Dividi $4$ per $- 1$ .

$x \geq - 4$

Passaggio 12.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 4, \infty)$

Passaggio 12.4

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ è l'intervallo di $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ è il dominio di $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ è l'inverso di $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

Passaggio 13