Precalcolo Esempi

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y - 37 = 0$

Passaggio 1

Somma $37$ a entrambi i lati dell'equazione.

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$

Passaggio 2

Completa il quadrato per $12 x^{2} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 12$

$b = - 12$

$c = 0$

Passaggio 2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 12}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (12)}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 6}{12}$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Scomponi $6$ da $- 6$ .

$d = \frac{6 (- 1)}{12}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 12}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(- 12)}^{2}$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1.1

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (12))}^{2}}{4 \cdot 12}$

Passaggio 2.4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (12)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Passaggio 2.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Passaggio 2.4.2.1.1.4

Moltiplica $12^{2}$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 12}$

Passaggio 2.4.2.1.1.5

Scomponi $12$ da $12^{2}$ .

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{4 \cdot 12}$

Passaggio 2.4.2.1.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1.6.1

Scomponi $12$ da $4 \cdot 12$ .

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Passaggio 2.4.2.1.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Passaggio 2.4.2.1.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{12}{4}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $12$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4}$

Passaggio 2.4.2.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

Passaggio 2.4.2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{3}{1}$

Passaggio 2.4.2.1.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Passaggio 2.4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$e = 0 - 3$

Passaggio 2.4.2.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$e = - 3$

Passaggio 2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$

Passaggio 3

Sostituisci $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ a $12 x^{2} - 12 x$ nell'equazione $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3 + 20 y^{2} + 40 y = 37$

Passaggio 4

Sposta $- 3$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $3$ a entrambi i lati.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 y^{2} + 40 y = 37 + 3$

Passaggio 5

Completa il quadrato per $20 y^{2} + 40 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 20$

$b = 40$

$c = 0$

Passaggio 5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot 20}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $40$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 20$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (20)}$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Passaggio 5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{20}{20}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{20}{20}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = 1$

Passaggio 5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 20}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Eleva $40$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot 20}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $20$ .

$e = 0 - \frac{1600}{80}$

Passaggio 5.4.2.1.3

Dividi $1600$ per $80$ .

$e = 0 - 1 \cdot 20$

Passaggio 5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $20$ .

$e = 0 - 20$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai $20$ da $0$ .

$e = - 20$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ .

$20 {(y + 1)}^{2} - 20$

Passaggio 6

Sostituisci $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ a $20 y^{2} + 40 y$ nell'equazione $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} - 20 = 37 + 3$

Passaggio 7

Sposta $- 20$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $20$ a entrambi i lati.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 37 + 3 + 20$

Passaggio 8

Semplifica $37 + 3 + 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Somma $37$ e $3$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 40 + 20$

Passaggio 8.2

Somma $40$ e $20$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 60$

Passaggio 9

Dividi per $60$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{12 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{60} + \frac{20 {(y + 1)}^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Passaggio 10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{5} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

Passaggio 11

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 12

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = \sqrt{5}$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = \frac{1}{2}$

Passaggio 13

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 14

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 15.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 15.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 15.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 15.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5^{1} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 15.1.1.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{5 - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 15.1.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 15.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 15.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 15.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 15.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{1}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 15.1.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{5 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 15.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 15.1.4

Sottrai $3$ da $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 15.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 15.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 15.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Passaggio 15.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Passaggio 15.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 15.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 15.3.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 15.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 15.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 15.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 15.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Passaggio 15.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 15.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Passaggio 15.4.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Forma decimale:

$0.63245553 \dots$

Passaggio 17