Precalcolo Esempi

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y - 44 = 0$

Passaggio 1

Somma $44$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y = 44$

Passaggio 2

Completa il quadrato per $9 x^{2} - 36 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Passaggio 2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 18}{9}$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 18$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Scomponi $9$ da $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Passaggio 2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 2.3.2.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$d = - 2$

Passaggio 2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Eleva $- 36$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Dividi $1296$ per $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Passaggio 2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$e = 0 - 36$

Passaggio 2.4.2.2

Sottrai $36$ da $0$ .

$e = - 36$

Passaggio 2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Passaggio 3

Sostituisci $9 x^{2} - 36 x$ con $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ nell'equazione $9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y = 44$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 + 4 y^{2} + 32 y = 44$

Passaggio 4

Sposta $- 36$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $36$ a entrambi i lati.

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 y^{2} + 32 y = 44 + 36$

Passaggio 5

Completa il quadrato per $4 y^{2} + 32 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = 32$

$c = 0$

Passaggio 5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{32}{2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $32$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $32$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 (4)}$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{16}{4}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$d = \frac{4 \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Passaggio 5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{4}{1}$

Passaggio 5.3.2.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$d = 4$

Passaggio 5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{32^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Eleva $32$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

Passaggio 5.4.2.1.3

Dividi $1024$ per $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Passaggio 5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$e = 0 - 64$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai $64$ da $0$ .

$e = - 64$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ .

$4 {(y + 4)}^{2} - 64$

Passaggio 6

Sostituisci $4 y^{2} + 32 y$ con $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ nell'equazione $9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x + 32 y = 44$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} - 64 = 44 + 36$

Passaggio 7

Sposta $- 64$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $64$ a entrambi i lati.

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 44 + 36 + 64$

Passaggio 8

Semplifica $44 + 36 + 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Somma $44$ e $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 80 + 64$

Passaggio 8.2

Somma $80$ e $64$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 144$

Passaggio 9

Dividi per $144$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{144} + \frac{4 {(y + 4)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Passaggio 10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{36} = 1$

Passaggio 11

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 12

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 6$

$b = 4$

$k = - 4$

$h = 2$

Passaggio 13

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 14

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(4)}^{2}}}{6}$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 4^{2}}}{6}$

Passaggio 15.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 16}}{6}$

Passaggio 15.1.3

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$\frac{\sqrt{36 - 16}}{6}$

Passaggio 15.1.4

Sottrai $16$ da $36$ .

$\frac{\sqrt{20}}{6}$

Passaggio 15.1.5

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.5.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{6}$

Passaggio 15.1.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{6}$

Passaggio 15.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 \sqrt{5}}{6}$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (\sqrt{5})}{6}$

Passaggio 15.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 15.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 15.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Forma decimale:

$0.74535599 \dots$

Passaggio 17