Precalcolo Esempi

$y = \frac{1}{2} \sin (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

$\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

$2$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.2.2

Dividi $\cos (2 x)$ per $1$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (2 x) \cdot 1$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $\cos (2 x)$ per $1$ .

$\cos (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\cos (2 x) = 0$

Passaggio 4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arccos (0)$

Passaggio 5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 7

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.1.2

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 8.1.5

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 8.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 8.2.3.2

Moltiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 9

La soluzione dell'equazione $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Passaggio 11.1.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 11.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 11.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 11.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 12

$x = \frac{π}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Passaggio 13.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Passaggio 13.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 13.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 13.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 13.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

Passaggio 15.1.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 15.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 15.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 15.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 15.4

Moltiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Passaggio 15.4.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2$

Passaggio 16

$x = \frac{3 π}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 17

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Passaggio 17.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

Passaggio 17.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

Passaggio 17.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 17.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 17.2.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 17.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 17.2.5

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 17.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 17.2.7

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Passaggio 18

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{1}{2})$ è un massimo locale

$(\frac{3 π}{4}, - \frac{1}{2})$ è un minimo locale

Passaggio 19