Precalcolo Esempi

$\log (x^{2} - 8 x + 15)$

Passaggio 1

Imposta l'argomento in $\log (x^{2} - 8 x + 15)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} - 8 x + 15 > 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} - 8 x + 15 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $x^{2} - 8 x + 15$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $15$ e la cui somma è $- 8$ .

$- 5, - 3$

Passaggio 2.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 5) (x - 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 5) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 5, 3$

Passaggio 2.7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 3$

$3 < x < 5$

$x > 5$

Passaggio 2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 15 > 0$

Passaggio 2.8.1.3

Il lato sinistro di $15$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.8.2

Testa un valore sull'intervallo $3 < x < 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $3 < x < 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 2.8.2.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

${(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 15 > 0$

Passaggio 2.8.2.3

Il lato sinistro di $- 1$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 2.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 2.8.3.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

${(8)}^{2} - 8 \cdot 8 + 15 > 0$

Passaggio 2.8.3.3

Il lato sinistro di $15$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 3$ Vero

$3 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Vero

$x < 3$ Vero

$3 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Vero

Passaggio 2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < 3$ o $x > 5$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 3) \cup (5, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x < 3, x > 5}$

Passaggio 4