Precalcolo Esempi

$2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 13, \pm 26, \pm 52$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 13, \pm \frac{13}{2}, \pm 26, \pm 52$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$2 {(\frac{1}{2})}^{4} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = \frac{1}{2}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \frac{1}{2^{4}} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 5 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{8} - 5 \frac{1}{2^{3}} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{8} - 5 (\frac{1}{8}) - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4.1.8

$- 5$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{- 5}{8} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4.1.10

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4.1.11

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 \frac{1}{2^{2}} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4.1.12

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 (\frac{1}{4}) + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4.1.13

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.13.1

Scomponi $4$ da $- 20$ .

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} + 4 (- 5) \frac{1}{4} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4.1.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} + 4 \cdot - 5 \frac{1}{4} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4.1.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 5 + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Passaggio 4.1.14

$115$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 5 + \frac{115}{2} - 52$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 5 - 52 + \frac{1 - 5}{8} + \frac{115}{2}$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$- 5 - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Passaggio 4.3

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scrivi $- 5$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 5}{1} - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{- 5}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 5}{1} \cdot \frac{8}{8} - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $\frac{- 5}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Passaggio 4.3.4

Scrivi $- 52$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52}{1} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $\frac{- 52}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $\frac{- 52}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $\frac{115}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 4.3.8

Moltiplica $\frac{115}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.3.9

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115 \cdot 4}{8}$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 5 \cdot 8 - 52 \cdot 8 - 4 + 115 \cdot 4}{8}$

Passaggio 4.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 5$ per $8$ .

$\frac{- 40 - 52 \cdot 8 - 4 + 115 \cdot 4}{8}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $- 52$ per $8$ .

$\frac{- 40 - 416 - 4 + 115 \cdot 4}{8}$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $115$ per $4$ .

$\frac{- 40 - 416 - 4 + 460}{8}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Sottrai $416$ da $- 40$ .

$\frac{- 456 - 4 + 460}{8}$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $4$ da $- 456$ .

$\frac{- 460 + 460}{8}$

Passaggio 4.6.3

Somma $- 460$ e $460$ .

$\frac{0}{8}$

Passaggio 4.6.4

Dividi $0$ per $8$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - \frac{1}{2}$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52}{x - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(2)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$

	$2$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 5)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$
	$2$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$
	$2$	$- 4$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 2)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 20)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$
	$2$	$- 4$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$
	$2$	$- 4$	$- 22$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 22)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 11)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(115)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$
	$2$	$- 4$	$- 22$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$
	$2$	$- 4$	$- 22$	$104$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(104)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(52)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 52)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$	$52$
	$2$	$- 4$	$- 22$	$104$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$	$52$
	$2$	$- 4$	$- 22$	$104$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$2 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 22) x + 104$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$2 x^{3} - 4 x^{2} - 22 x + 104$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $2 x^{3} - 4 x^{2} - 22 x + 104$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 4 x^{2} - 22 x + 104)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $- 4 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) - 22 x + 104)$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $- 22 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 104)$

Passaggio 7.4

Scomponi $2$ da $104$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 \cdot 52)$

Passaggio 7.5

Scomponi $2$ da $2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 \cdot 52)$

Passaggio 7.6

Scomponi $2$ da $2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 11 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 2 x^{2} - 11 x) + 2 \cdot 52)$

Passaggio 7.7

Scomponi $2$ da $2 (x^{3} - 2 x^{2} - 11 x) + 2 \cdot 52$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 52))$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 8.1

Raggruppa i termini.

$- 5 x^{3} - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi $- 5 x^{2}$ da $- 5 x^{3} - 20 x^{2}$ .

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Passaggio 8.2.1

Scomponi $- 5 x^{2}$ da $- 5 x^{3}$ .

$- 5 x^{2} x - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Passaggio 8.2.2

Scomponi $- 5 x^{2}$ da $- 20 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} x - 5 x^{2} \cdot 4 + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Passaggio 8.2.3

Scomponi $- 5 x^{2}$ da $- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (4)$ .

$- 5 x^{2} (x + 4) + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Passaggio 8.3

Scomponi $2 x^{4} + 115 x - 52$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 8.3.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 8.3.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 52, \pm 26, \pm 2, \pm 13, \pm 4, \pm 6.5$

Passaggio 8.3.3

Sostituisci $- 4$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 4$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Sostituisci $- 4$ nel polinomio.

$2 {(- 4)}^{4} + 115 \cdot - 4 - 52$

Passaggio 8.3.3.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $4$ .

$2 \cdot 256 + 115 \cdot - 4 - 52$

Passaggio 8.3.3.3

Moltiplica $2$ per $256$ .

$512 + 115 \cdot - 4 - 52$

Passaggio 8.3.3.4

Moltiplica $115$ per $- 4$ .

$512 - 460 - 52$

Passaggio 8.3.3.5

Sottrai $460$ da $512$ .

$52 - 52$

Passaggio 8.3.3.6

Sottrai $52$ da $52$ .

$0$

Passaggio 8.3.4

Poiché $- 4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 4$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{4} + 115 x - 52}{x + 4}$

Passaggio 8.3.5

Dividi $2 x^{4} + 115 x - 52$ per $x + 4$ .

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Passaggio 8.3.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

Passaggio 8.3.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

Passaggio 8.3.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Passaggio 8.3.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{4} + 8 x^{3}$

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Passaggio 8.3.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Passaggio 8.3.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 8.3.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 8 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 8.3.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Passaggio 8.3.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 8 x^{3} - 32 x^{2}$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Passaggio 8.3.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Passaggio 8.3.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

Passaggio 8.3.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $32 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

Passaggio 8.3.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

Passaggio 8.3.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $32 x^{2} + 128 x$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

Passaggio 8.3.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

Passaggio 8.3.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

Passaggio 8.3.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 13 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

Passaggio 8.3.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

Passaggio 8.3.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 13 x - 52$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

Passaggio 8.3.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

$0$

Passaggio 8.3.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13$

Passaggio 8.3.6

Scrivi $2 x^{4} + 115 x - 52$ come insieme di fattori.

$- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Passaggio 8.4

Scomponi $x + 4$ da $- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Scomponi $x + 4$ da $- 5 x^{2} (x + 4)$ .

$(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Passaggio 8.4.2

Scomponi $x + 4$ da $(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ .

$(x + 4) (- 5 x^{2} + 2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Passaggio 8.5

Sottrai $8 x^{2}$ da $- 5 x^{2}$ .

$(x + 4) (2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Passaggio 8.6

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Scomponi $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 13$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 8.6.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 13, \pm 6.5$

Passaggio 8.6.1.3

Sostituisci $0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.5$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1.3.1

Sostituisci $0.5$ nel polinomio.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Passaggio 8.6.1.3.2

Eleva $0.5$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Passaggio 8.6.1.3.3

Moltiplica $2$ per $0.125$ .

$0.25 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Passaggio 8.6.1.3.4

Eleva $0.5$ alla potenza di $2$ .

$0.25 - 13 \cdot 0.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Passaggio 8.6.1.3.5

Moltiplica $- 13$ per $0.25$ .

$0.25 - 3.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Passaggio 8.6.1.3.6

Sottrai $3.25$ da $0.25$ .

$- 3 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Passaggio 8.6.1.3.7

Moltiplica $32$ per $0.5$ .

$- 3 + 16 - 13$

Passaggio 8.6.1.3.8

Somma $- 3$ e $16$ .

$13 - 13$

Passaggio 8.6.1.3.9

Sottrai $13$ da $13$ .

$0$

Passaggio 8.6.1.4

Poiché $0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13}{2 x - 1}$

Passaggio 8.6.1.5

Dividi $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ per $2 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$32 x$

$13$

Passaggio 8.6.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$

Passaggio 8.6.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 8.6.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 8.6.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Passaggio 8.6.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

Passaggio 8.6.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 12 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

Passaggio 8.6.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 8.6.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 12 x^{2} + 6 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 8.6.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$

Passaggio 8.6.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

Passaggio 8.6.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $26 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

Passaggio 8.6.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							+	$26 x$	-	$13$

Passaggio 8.6.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $26 x - 13$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$

Passaggio 8.6.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$
										$0$

Passaggio 8.6.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 6 x + 13$

Passaggio 8.6.1.6

Scrivi $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ come insieme di fattori.

$(x + 4) ((2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13)) = 0$

Passaggio 8.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

Passaggio 10

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 10.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 11

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 11.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 12

Imposta $x^{2} - 6 x + 13$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta $x^{2} - 6 x + 13$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi $x^{2} - 6 x + 13 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = 13$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.3.1.3

Sottrai $52$ da $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.3.1.4

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (16)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.3.1.7

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.3.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Passaggio 12.2.3.3

Semplifica $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Passaggio 12.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Passaggio 13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$ vera.

$x = - 4, \frac{1}{2}, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Passaggio 14