Precalcolo Esempi

$x^{4} - 4 x^{3} + 20 x^{2} - 100 x - 125 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i termini.

$- 4 x^{3} + 20 x^{2} + x^{4} - 100 x - 125 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $- 4 x^{2}$ da $- 4 x^{3} + 20 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $- 4 x^{2}$ da $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x^{2} x + 20 x^{2} + x^{4} - 100 x - 125 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $- 4 x^{2}$ da $20 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} x - 4 x^{2} \cdot - 5 + x^{4} - 100 x - 125 = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $- 4 x^{2}$ da $- 4 x^{2} (x) - 4 x^{2} (- 5)$ .

$- 4 x^{2} (x - 5) + x^{4} - 100 x - 125 = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi $x^{4} - 100 x - 125$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.3.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci $5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $5$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Sostituisci $5$ nel polinomio.

$5^{4} - 100 \cdot 5 - 125$

Passaggio 1.3.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$625 - 100 \cdot 5 - 125$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $- 100$ per $5$ .

$625 - 500 - 125$

Passaggio 1.3.3.4

Sottrai $500$ da $625$ .

$125 - 125$

Passaggio 1.3.3.5

Sottrai $125$ da $125$ .

$0$

Passaggio 1.3.4

Poiché $5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 5$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{4} - 100 x - 125}{x - 5}$

Passaggio 1.3.5

Dividi $x^{4} - 100 x - 125$ per $x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

Passaggio 1.3.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

Passaggio 1.3.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

Passaggio 1.3.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} - 5 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

Passaggio 1.3.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

Passaggio 1.3.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 1.3.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 1.3.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

Passaggio 1.3.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{3} - 25 x^{2}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

Passaggio 1.3.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

Passaggio 1.3.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

Passaggio 1.3.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $25 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

Passaggio 1.3.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

Passaggio 1.3.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $25 x^{2} - 125 x$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

Passaggio 1.3.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$25 x$

Passaggio 1.3.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$25 x$

$125$

Passaggio 1.3.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $25 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$25$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$25 x$

$125$

Passaggio 1.3.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$25$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$25 x$

$125$

$25 x$

$125$

Passaggio 1.3.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $25 x - 125$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$25$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$25 x$

$125$

$25 x$

$125$

Passaggio 1.3.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$25$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$25 x$

$125$

$25 x$

$125$

$0$

Passaggio 1.3.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 25$

Passaggio 1.3.6

Scrivi $x^{4} - 100 x - 125$ come insieme di fattori.

$- 4 x^{2} (x - 5) + (x - 5) (x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 25) = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi $x - 5$ da $- 4 x^{2} (x - 5) + (x - 5) (x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 25)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $x - 5$ da $- 4 x^{2} (x - 5)$ .

$(x - 5) (- 4 x^{2}) + (x - 5) (x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 25) = 0$

Passaggio 1.4.2

Scomponi $x - 5$ da $(x - 5) (- 4 x^{2}) + (x - 5) (x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 25)$ .

$(x - 5) (- 4 x^{2} + x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 25) = 0$

Passaggio 1.5

Somma $- 4 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$(x - 5) (x^{3} + x^{2} + 25 x + 25) = 0$

Passaggio 1.6

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Riscrivi $x^{3} + x^{2} + 25 x + 25$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 5) ((x^{3} + x^{2}) + 25 x + 25) = 0$

Passaggio 1.6.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 5) (x^{2} (x + 1) + 25 (x + 1)) = 0$

Passaggio 1.6.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 1$ .

$(x - 5) ((x + 1) (x^{2} + 25)) = 0$

Passaggio 1.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 5) (x + 1) (x^{2} + 25) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 25 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 4

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 5

Imposta $x^{2} + 25$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $x^{2} + 25$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $x^{2} + 25 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $25$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 25$

Passaggio 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Riscrivi $- 25$ come $- 1 (25)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (25)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

Passaggio 5.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

Passaggio 5.2.3.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 5.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 5$

Passaggio 5.2.3.6

Sposta $5$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 5 i$

Passaggio 5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 5 i$

Passaggio 5.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 5 i$

Passaggio 5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 5 i, - 5 i$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 5) (x + 1) (x^{2} + 25) = 0$ vera.

$x = 5, - 1, 5 i, - 5 i$

Passaggio 7