Precalcolo Esempi

$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64}$

Passaggio 1

Questa è una progressione geometrica poiché c'è un rapporto costante tra ogni termine e quello che lo precede. In questo caso, moltiplicando per $\frac{1}{4}$ un termine si ottiene il termine successivo. In altre parole, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressione geometrica: $r = \frac{1}{4}$

Passaggio 2

Questa è la forma di una progressione geometrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori di $a_{1} = 1$ e $r = \frac{1}{4}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Passaggio 4

Moltiplica ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ per $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Passaggio 5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Passaggio 6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$a_{n} = \frac{1}{4^{n - 1}}$

Passaggio 7

Questa è la formula per trovare la somma dei primi $n$ termini della progressione geometrica. Per calcolarla, trova i valori di $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Passaggio 8

Sostituisci le variabili con i valori noti per trovare $S_{4}$ .

$S_{4} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{4} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Passaggio 9

Moltiplica $\frac{{(\frac{1}{4})}^{4} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$ per $1$ .

$S_{4} = \frac{{(\frac{1}{4})}^{4} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Passaggio 10

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{{(\frac{1}{4})}^{4} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$S_{4} = \frac{4}{4} \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{4} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Passaggio 10.2

Combina.

$S_{4} = \frac{4 ({(\frac{1}{4})}^{4} - 1)}{4 (\frac{1}{4} - 1)}$

Passaggio 11

Applica la proprietà distributiva.

$S_{4} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{4} + 4 \cdot - 1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 \cdot - 1}$

Passaggio 12

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Elimina il fattore comune.

$S_{4} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{4} + 4 \cdot - 1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 \cdot - 1}$

Passaggio 12.2

Riscrivi l'espressione.

$S_{4} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{4} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Passaggio 13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$S_{4} = \frac{4 (\frac{1^{4}}{4^{4}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Scomponi $4$ da $4^{4}$ .

$S_{4} = \frac{4 (\frac{1^{4}}{4 \cdot 4^{3}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Passaggio 13.2.2

Elimina il fattore comune.

$S_{4} = \frac{4 (\frac{1^{4}}{4 \cdot 4^{3}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Passaggio 13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{4} = \frac{\frac{1^{4}}{4^{3}} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Passaggio 13.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$S_{4} = \frac{\frac{1}{4^{3}} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Passaggio 13.4

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{64} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

Passaggio 13.5

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{64} - 4}{1 + 4 \cdot - 1}$

Passaggio 13.6

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{64}{64}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{64} - 4 \cdot \frac{64}{64}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Passaggio 13.7

$- 4$ e $\frac{64}{64}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{64} + \frac{- 4 \cdot 64}{64}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Passaggio 13.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 4 \cdot 64}{64}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Passaggio 13.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.1

Moltiplica $- 4$ per $64$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 256}{64}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Passaggio 13.9.2

Sottrai $256$ da $1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{- 255}{64}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Passaggio 13.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{4} = \frac{- \frac{255}{64}}{1 + 4 \cdot - 1}$

Passaggio 14

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{255}{64}}{1 - 4}$

Passaggio 14.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{255}{64}}{- 3}$

Passaggio 15

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$S_{4} = - \frac{255}{64} \cdot \frac{1}{- 3}$

Passaggio 16

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{255}{64}$ nel numeratore.

$S_{4} = \frac{- 255}{64} \cdot \frac{1}{- 3}$

Passaggio 16.2

Scomponi $3$ da $- 255$ .

$S_{4} = \frac{3 (- 85)}{64} \cdot \frac{1}{- 3}$

Passaggio 16.3

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$S_{4} = \frac{3 \cdot - 85}{64} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Passaggio 16.4

Elimina il fattore comune.

$S_{4} = \frac{3 \cdot - 85}{64} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Passaggio 16.5

Riscrivi l'espressione.

$S_{4} = \frac{- 85}{64} \cdot \frac{1}{- 1}$

Passaggio 17

Moltiplica $\frac{- 85}{64}$ per $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{4} = \frac{- 85}{64 \cdot - 1}$

Passaggio 18

Moltiplica $64$ per $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- 85}{- 64}$

Passaggio 19

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$S_{4} = \frac{85}{64}$