Precalcolo Esempi

$\frac{1 - x^{2}}{x - 2}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{1 - x^{2}}{x - 2}$ è indefinita.

$x = 2$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{x - 2}$

Passaggio 5.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{x - 2}$

Passaggio 5.2

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x - 2}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x - 2}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x - 2}$

Passaggio 5.2.4

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x - 2}$

Passaggio 5.2.5

Riordina $x$ e $1$ .

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot x + x (- x)}{x - 2}$

Passaggio 5.2.6

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot x + x \cdot (- 1 x)}{x - 2}$

Passaggio 5.2.7

Riordina $x$ e $- 1$ .

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 x - 1 \cdot (x \cdot x)}{x - 2}$

Passaggio 5.2.8

Moltiplica $- 1$ per $x$ .

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 x - 1 x \cdot x}{x - 2}$

Passaggio 5.2.9

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1 + 1 \cdot (- 1 x) + 1 x - 1 x \cdot x}{x - 2}$

Passaggio 5.2.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x - 2}$

Passaggio 5.2.11

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x - 2}$

Passaggio 5.2.12

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x - 2}$

Passaggio 5.2.13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x - 2}$

Passaggio 5.2.14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x - 2}$

Passaggio 5.2.15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x - 2}$

Passaggio 5.2.16

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 - x + x - x^{2}}{x - 2}$

Passaggio 5.2.17

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{1 + 0 - x^{2}}{x - 2}$

Passaggio 5.2.18

Sottrai $x^{2}$ da $0$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x - 2}$

Passaggio 5.2.19

Riordina $1$ e $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{x - 2}$

Passaggio 5.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 5.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x$
	$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Passaggio 5.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 5.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} + 2 x$

			-	$x$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 5.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$

Passaggio 5.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$1$

Passaggio 5.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$1$

Passaggio 5.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$1$
					-	$2 x$	+	$4$

Passaggio 5.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x + 4$

			-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	-	$4$

Passaggio 5.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	-	$4$
							-	$3$

Passaggio 5.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- x - 2 - \frac{3}{x - 2}$

Passaggio 5.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = - x - 2$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 2$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = - x - 2$

Passaggio 7