Precalcolo Esempi

$\sqrt{1 - k} - \sqrt{3 k + 1} = - 2$

Passaggio 1

Somma $\sqrt{3 k + 1}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{1 - k} = - 2 + \sqrt{3 k + 1}$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{1 - k}}^{2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - k}$ come ${(1 - k)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ${({(1 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - k)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(1 - k)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(1 - k)}^{1} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$1 - k = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ${(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi ${(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$ come $(- 2 + \sqrt{3 k + 1}) (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$ .

$1 - k = (- 2 + \sqrt{3 k + 1}) (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$

Passaggio 3.3.1.2

Espandi $(- 2 + \sqrt{3 k + 1}) (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 - k = - 2 (- 2 + \sqrt{3 k + 1}) + \sqrt{3 k + 1} (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$

Passaggio 3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 - k = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$

Passaggio 3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 - k = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} \cdot - 2 + \sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} \cdot - 2 + \sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$

Passaggio 3.3.1.3.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $\sqrt{3 k + 1}$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \cdot \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$

Passaggio 3.3.1.3.1.3

Moltiplica $\sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{3 k + 1}$ alla potenza di $1$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{1} \sqrt{3 k + 1}$

Passaggio 3.3.1.3.1.3.2

Eleva $\sqrt{3 k + 1}$ alla potenza di $1$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{1} {\sqrt{3 k + 1}}^{1}$

Passaggio 3.3.1.3.1.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{1 + 1}$

Passaggio 3.3.1.3.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{2}$

Passaggio 3.3.1.3.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3 k + 1}}^{2}$ come $3 k + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 k + 1}$ come ${(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.3.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{1}$

Passaggio 3.3.1.3.1.4.5

Semplifica.

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + 3 k + 1$

Passaggio 3.3.1.3.2

Somma $4$ e $1$ .

$1 - k = 5 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + 3 k$

Passaggio 3.3.1.3.3

Sottrai $2 \sqrt{3 k + 1}$ da $- 2 \sqrt{3 k + 1}$ .

$1 - k = 5 - 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k$

Passaggio 4

Risolvi per $- 4 \sqrt{3 k + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $5 - 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k = 1 - k$ .

$5 - 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k = 1 - k$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $- 4 \sqrt{3 k + 1}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k = 1 - k - 5$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $3 k$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 \sqrt{3 k + 1} = 1 - k - 5 - 3 k$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $5$ da $1$ .

$- 4 \sqrt{3 k + 1} = - k - 4 - 3 k$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $3 k$ da $- k$ .

$- 4 \sqrt{3 k + 1} = - 4 k - 4$

Passaggio 5

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(- 4 \sqrt{3 k + 1})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Passaggio 6

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 k + 1}$ come ${(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ${(- 4 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 4 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} {({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$16 {({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$16 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$16 {(3 k + 1)}^{1} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Semplifica.

$16 (3 k + 1) = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$16 (3 k) + 16 \cdot 1 = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.6.1

Moltiplica $3$ per $16$ .

$48 k + 16 \cdot 1 = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6.2

Moltiplica $16$ per $1$ .

$48 k + 16 = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica ${(- 4 k - 4)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Riscrivi ${(- 4 k - 4)}^{2}$ come $(- 4 k - 4) (- 4 k - 4)$ .

$48 k + 16 = (- 4 k - 4) (- 4 k - 4)$

Passaggio 6.3.1.2

Espandi $(- 4 k - 4) (- 4 k - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$48 k + 16 = - 4 k (- 4 k - 4) - 4 (- 4 k - 4)$

Passaggio 6.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$48 k + 16 = - 4 k (- 4 k) - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k - 4)$

Passaggio 6.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$48 k + 16 = - 4 k (- 4 k) - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Passaggio 6.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$48 k + 16 = - 4 \cdot - 4 k \cdot k - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Passaggio 6.3.1.3.1.2

Moltiplica $k$ per $k$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1.2.1

Sposta $k$ .

$48 k + 16 = - 4 \cdot - 4 (k \cdot k) - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Passaggio 6.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $k$ per $k$ .

$48 k + 16 = - 4 \cdot - 4 k^{2} - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Passaggio 6.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Passaggio 6.3.1.3.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 16 k - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Passaggio 6.3.1.3.1.5

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 16 k + 16 k - 4 \cdot - 4$

Passaggio 6.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 16 k + 16 k + 16$

Passaggio 6.3.1.3.2

Somma $16 k$ e $16 k$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 32 k + 16$

Passaggio 7

Risolvi per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $k$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$16 k^{2} + 32 k + 16 = 48 k + 16$

Passaggio 7.2

Sposta tutti i termini contenenti $k$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sottrai $48 k$ da entrambi i lati dell'equazione.

$16 k^{2} + 32 k + 16 - 48 k = 16$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $48 k$ da $32 k$ .

$16 k^{2} - 16 k + 16 = 16$

Passaggio 7.3

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$16 k^{2} - 16 k + 16 - 16 = 0$

Passaggio 7.4

Combina i termini opposti in $16 k^{2} - 16 k + 16 - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Sottrai $16$ da $16$ .

$16 k^{2} - 16 k + 0 = 0$

Passaggio 7.4.2

Somma $16 k^{2} - 16 k$ e $0$ .

$16 k^{2} - 16 k = 0$

Passaggio 7.5

Scomponi $16 k$ da $16 k^{2} - 16 k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Scomponi $16 k$ da $16 k^{2}$ .

$16 k (k) - 16 k = 0$

Passaggio 7.5.2

Scomponi $16 k$ da $- 16 k$ .

$16 k (k) + 16 k (- 1) = 0$

Passaggio 7.5.3

Scomponi $16 k$ da $16 k (k) + 16 k (- 1)$ .

$16 k (k - 1) = 0$

Passaggio 7.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$k = 0$

$k - 1 = 0$

Passaggio 7.7

Imposta $k$ uguale a $0$ .

$k = 0$

Passaggio 7.8

Imposta $k - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Imposta $k - 1$ uguale a $0$ .

$k - 1 = 0$

Passaggio 7.8.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$k = 1$

Passaggio 7.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $16 k (k - 1) = 0$ vera.

$k = 0, 1$

Passaggio 8

Escludi le soluzioni che non rendono $\sqrt{1 - k} - \sqrt{3 k + 1} = - 2$ vera.

$k = 1$