Precalcolo Esempi

$3 y + 2 = \sqrt{y^{2} + 10 y + 7}$

Passaggio 1

Poiché il radicale si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$\sqrt{y^{2} + 10 y + 7} = 3 y + 2$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y^{2} + 10 y + 7}}^{2} = {(3 y + 2)}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y^{2} + 10 y + 7}$ come ${(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y + 2)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ${({(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y + 2)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y^{2} + 10 y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y + 2)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y^{2} + 10 y + 7)}^{1} = {(3 y + 2)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$y^{2} + 10 y + 7 = {(3 y + 2)}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ${(3 y + 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi ${(3 y + 2)}^{2}$ come $(3 y + 2) (3 y + 2)$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = (3 y + 2) (3 y + 2)$

Passaggio 3.3.1.2

Espandi $(3 y + 2) (3 y + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 y (3 y + 2) + 2 (3 y + 2)$

Passaggio 3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y + 2)$

Passaggio 3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 9 y^{2} + 3 y \cdot 2 + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.3.1.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 9 y^{2} + 6 y + 2 (3 y) + 2 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.3.1.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 9 y^{2} + 6 y + 6 y + 2 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.3.1.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 9 y^{2} + 6 y + 6 y + 4$

Passaggio 3.3.1.3.2

Somma $6 y$ e $6 y$ .

$y^{2} + 10 y + 7 = 9 y^{2} + 12 y + 4$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 4.1.1

Sottrai $9 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + 10 y + 7 - 9 y^{2} = 12 y + 4$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $12 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + 10 y + 7 - 9 y^{2} - 12 y = 4$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $9 y^{2}$ da $y^{2}$ .

$- 8 y^{2} + 10 y + 7 - 12 y = 4$

Passaggio 4.1.4

Sottrai $12 y$ da $10 y$ .

$- 8 y^{2} - 2 y + 7 = 4$

Passaggio 4.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 8 y^{2} - 2 y + 7 - 4 = 0$

Passaggio 4.3

Sottrai $4$ da $7$ .

$- 8 y^{2} - 2 y + 3 = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.4.1

Scomponi $- 1$ da $- 8 y^{2} - 2 y + 3$ .

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Passaggio 4.4.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 8 y^{2}$ .

$- (8 y^{2}) - 2 y + 3 = 0$

Passaggio 4.4.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 y$ .

$- (8 y^{2}) - (2 y) + 3 = 0$

Passaggio 4.4.1.3

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$- (8 y^{2}) - (2 y) - 1 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 4.4.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (8 y^{2}) - (2 y)$ .

$- (8 y^{2} + 2 y) - 1 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 4.4.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (8 y^{2} + 2 y) - 1 (- 3)$ .

$- (8 y^{2} + 2 y - 3) = 0$

Passaggio 4.4.2

Scomponi.

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Passaggio 4.4.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.4.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 8 \cdot - 3 = - 24$ e la cui somma è $b = 2$ .

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Passaggio 4.4.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$- (8 y^{2} + 2 (y) - 3) = 0$

Passaggio 4.4.2.1.1.2

Riscrivi $2$ come $- 4$ più $6$ .

$- (8 y^{2} + (- 4 + 6) y - 3) = 0$

Passaggio 4.4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (8 y^{2} - 4 y + 6 y - 3) = 0$

Passaggio 4.4.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.4.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- ((8 y^{2} - 4 y) + 6 y - 3) = 0$

Passaggio 4.4.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- (4 y (2 y - 1) + 3 (2 y - 1)) = 0$

Passaggio 4.4.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 y - 1$ .

$- ((2 y - 1) (4 y + 3)) = 0$

Passaggio 4.4.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (2 y - 1) (4 y + 3) = 0$

Passaggio 4.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 y - 1 = 0$

$4 y + 3 = 0$

Passaggio 4.6

Imposta $2 y - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.6.1

Imposta $2 y - 1$ uguale a $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Passaggio 4.6.2

Risolvi $2 y - 1 = 0$ per $y$ .

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Passaggio 4.6.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y = 1$

Passaggio 4.6.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = 1$ e semplifica.

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Passaggio 4.6.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = 1$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.6.2.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.7

Imposta $4 y + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Imposta $4 y + 3$ uguale a $0$ .

$4 y + 3 = 0$

Passaggio 4.7.2

Risolvi $4 y + 3 = 0$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y = - 3$

Passaggio 4.7.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = - 3$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 4.7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 4.7.2.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 4.7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.7.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{3}{4}$

Passaggio 4.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (2 y - 1) (4 y + 3) = 0$ vera.

$y = \frac{1}{2}, - \frac{3}{4}$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $3 y + 2 = \sqrt{y^{2} + 10 y + 7}$ vera.

$y = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$y = 0.5$