Precalcolo Esempi

$\ln (3 y + 5) - \ln (y - 1) = \ln (- 4 y + 10)$

Passaggio 1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3 y + 5}{y - 1}) = \ln (- 4 y + 10)$

Passaggio 2

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y - 1, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Rimuovi le parentesi.

$y - 1, 1, 1$

Passaggio 3.1.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y - 1$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $y - 1$ ciascun termine in $\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ per $y - 1$ .

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 y + 5 = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 y + 5 = - 4 y \cdot y - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Passaggio 3.2.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$3 y + 5 = - 4 (y \cdot y) - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Passaggio 3.2.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Passaggio 3.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 (y - 1)$

Passaggio 3.2.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y + 10 \cdot - 1$

Passaggio 3.2.3.1.5

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y - 10$

Passaggio 3.2.3.2

Somma $4 y$ e $10 y$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 14 y - 10$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 = 3 y + 5$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 - 3 y = 5$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $3 y$ da $14 y$ .

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 = 5$

Passaggio 3.3.3

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

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Passaggio 3.3.3.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 - 5 = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Sottrai $5$ da $- 10$ .

$- 4 y^{2} + 11 y - 15 = 0$

Passaggio 3.3.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.3.5

Sostituisci i valori $a = - 4$ , $b = 11$ e $c = - 15$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot - 15)}}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 3.3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.3.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.6.1.1

Eleva $11$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 3.3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 4 \cdot - 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 16 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 3.3.6.1.2.2

Moltiplica $16$ per $- 15$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 240}}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 3.3.6.1.3

Sottrai $240$ da $121$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 3.3.6.1.4

Riscrivi $- 119$ come $- 1 (119)$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 3.3.6.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (119)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 3.3.6.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 3.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$

Passaggio 3.3.6.3

Semplifica $\frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$ .

$y = \frac{11 \pm i \sqrt{119}}{8}$

Passaggio 3.3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{11 + i \sqrt{119}}{8}, \frac{11 - i \sqrt{119}}{8}$