Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{5 x^{4} + 3 x^{2} - x}{x^{3}}$

Passaggio 1

Scomponi $x$ da $5 x^{4} + 3 x^{2} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $x$ da $5 x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + 3 x^{2} - x}{x^{3}}]$

Passaggio 1.2

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + x (3 x) - x}{x^{3}}]$

Passaggio 1.3

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + x (3 x) + x \cdot - 1}{x^{3}}]$

Passaggio 1.4

Scomponi $x$ da $x (5 x^{3}) + x (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x) + x \cdot - 1}{x^{3}}]$

Passaggio 1.5

Scomponi $x$ da $x (5 x^{3} + 3 x) + x \cdot - 1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}]$

Passaggio 2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x \cdot x^{2}}]$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x \cdot x^{2}}]$

Passaggio 2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3} + 3 x - 1}{x^{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 5 x^{3} + 3 x - 1$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{3} + 3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x^{2} (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.8

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 + 0) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.10

Somma $15 x^{2} + 3$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - (5 x^{3} + 3 x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 4.12

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 4.12.2

Scomponi $x$ da $x^{2} (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (15 x^{2} + 3)$ .

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3)) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 4.12.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x$ .

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3)) + x (- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x^{4}}$

Passaggio 4.12.2.3

Scomponi $x$ da $x (x (15 x^{2} + 3)) + x (- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))$ .

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x^{4}}$

Passaggio 5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (15 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (15 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{15 x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{15 (x^{2} x) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{15 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{15 x^{2 + 1} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{15 x^{3} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{15 x^{3} + 3 \cdot x - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.1.4

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.1.5

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 6 x - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 6 x + 2}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.2

Sottrai $10 x^{3}$ da $15 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{3} + 3 x - 6 x + 2}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.3

Sottrai $6 x$ da $3 x$ .

$\frac{5 x^{3} - 3 x + 2}{x^{3}}$