Precalcolo Esempi

${(p + q)}^{5}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

È possibile usare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di ${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente $n$ e sommando $1$ . I coefficienti corrisponderanno alla retta $n + 1$ del triangolo. Per ${(p + q)}^{5}$ , $n = 5$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla retta $6$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a$ $p$ e $b$ $q$ nell'espressione.

$1 {(p)}^{5} {(q)}^{0} + 5 {(p)}^{4} {(q)}^{1} + 10 {(p)}^{3} {(q)}^{2} + 10 {(p)}^{2} {(q)}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(q)}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(q)}^{5}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1

Moltiplica ${(p)}^{5}$ per $1$ .

${(p)}^{5} {(q)}^{0} + 5 {(p)}^{4} {(q)}^{1} + 10 {(p)}^{3} {(q)}^{2} + 10 {(p)}^{2} {(q)}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(q)}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(q)}^{5}$

Passaggio 4.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$p^{5} \cdot 1 + 5 {(p)}^{4} {(q)}^{1} + 10 {(p)}^{3} {(q)}^{2} + 10 {(p)}^{2} {(q)}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(q)}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(q)}^{5}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $p^{5}$ per $1$ .

$p^{5} + 5 {(p)}^{4} {(q)}^{1} + 10 {(p)}^{3} {(q)}^{2} + 10 {(p)}^{2} {(q)}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(q)}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(q)}^{5}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

$p^{5} + 5 p^{4} q + 10 {(p)}^{3} {(q)}^{2} + 10 {(p)}^{2} {(q)}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(q)}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(q)}^{5}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

$p^{5} + 5 p^{4} q + 10 p^{3} q^{2} + 10 p^{2} q^{3} + 5 p {(q)}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(q)}^{5}$

Passaggio 4.6

Moltiplica ${(p)}^{0}$ per $1$ .

$p^{5} + 5 p^{4} q + 10 p^{3} q^{2} + 10 p^{2} q^{3} + 5 p q^{4} + {(p)}^{0} {(q)}^{5}$

Passaggio 4.7

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$p^{5} + 5 p^{4} q + 10 p^{3} q^{2} + 10 p^{2} q^{3} + 5 p q^{4} + 1 {(q)}^{5}$

Passaggio 4.8

Moltiplica ${(q)}^{5}$ per $1$ .

$p^{5} + 5 p^{4} q + 10 p^{3} q^{2} + 10 p^{2} q^{3} + 5 p q^{4} + q^{5}$