Precalcolo Esempi

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi $e^{2 x}$ come ${(e^{x})}^{2}$ .

${(e^{x})}^{2} - 3 e^{x} + 2 = 0$

Passaggio 2

Sia $u = e^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{x}$ con $u$ .

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

Passaggio 3

Scomponi $u^{2} - 3 u + 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 2, - 1$

Passaggio 3.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x}$ .

$(e^{x} - 2) (e^{x} - 1) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

$e^{x} - 1 = 0$

Passaggio 6

Imposta $e^{x} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $e^{x} - 2$ uguale a $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $e^{x} - 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$e^{x} = 2$

Passaggio 6.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Passaggio 6.2.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Passaggio 6.2.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Passaggio 6.2.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (2)$

Passaggio 7

Imposta $e^{x} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $e^{x} - 1$ uguale a $0$ .

$e^{x} - 1 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $e^{x} - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 7.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$e^{x} = 1$

Passaggio 7.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Passaggio 7.2.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Passaggio 7.2.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Passaggio 7.2.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (1)$

Passaggio 7.2.4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(e^{x} - 2) (e^{x} - 1) = 0$ vera.

$x = \ln (2), 0$