Precalcolo Esempi

$\frac{x - 4}{x + 11} \geq \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{1}{x - 1}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{x - 4}{x + 11} - \frac{1}{x - 1} \geq 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{x - 4}{x + 11} - \frac{1}{x - 1}$ .

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{x - 4}{x + 11}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x + 11} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \geq 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{1}{x - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 11}{x + 11}$ .

$\frac{x - 4}{x + 11} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 11}{x + 11} \geq 0$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + 11) (x - 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{x - 4}{x + 11}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 11}{x + 11} \geq 0$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x - 1}$ per $\frac{x + 11}{x + 11}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{x + 11}{(x - 1) (x + 11)} \geq 0$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(x - 1) (x + 11)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{x + 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x - 4) (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Espandi $(x - 4) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x - 1) - 4 (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Passaggio 2.5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Passaggio 2.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Passaggio 2.5.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.5.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Passaggio 2.5.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Passaggio 2.5.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Passaggio 2.5.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x + 4 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $4 x$ da $- x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Passaggio 2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x - 1 \cdot 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $- 1$ per $11$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x - 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Passaggio 2.5.5

Sottrai $x$ da $- 5 x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 4 - 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Passaggio 2.5.6

Sottrai $11$ da $4$ .

$\frac{x^{2} - 6 x - 7}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Passaggio 2.5.7

Scomponi $x^{2} - 6 x - 7$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.5.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 7$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 7, 1$

Passaggio 2.5.7.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 11 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 4

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 5

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 6

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 11$

Passaggio 7

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 8

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 7$

$x = - 1$

$x = - 11$

$x = 1$

Passaggio 9

Consolida le soluzioni.

$x = 7, - 1, - 11, 1$

Passaggio 10

Trova il dominio di $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)}$ .

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Passaggio 10.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(x + 11) (x - 1) = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 11 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 10.2.2

Imposta $x + 11$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.2.2.1

Imposta $x + 11$ uguale a $0$ .

$x + 11 = 0$

Passaggio 10.2.2.2

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 11$

Passaggio 10.2.3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.2.3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 10.2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 10.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 11) (x - 1) = 0$ vera.

$x = - 11, 1$

Passaggio 10.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 11) \cup (- 11, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 11

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 11$

$- 11 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 11$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 11$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 14$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $x$ con $- 14$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 14) - 4}{(- 14) + 11} \geq \frac{1}{(- 14) - 1}$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $6$ è maggiore del lato destro di $- 0.0\overline{6}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $- 11 < x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 11 < x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 6) - 4}{(- 6) + 11} \geq \frac{1}{(- 6) - 1}$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $- 2$ è minore del lato destro di $- 0.\overline{142857}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.3

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 12.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(0) - 4}{(0) + 11} \geq \frac{1}{(0) - 1}$

Passaggio 12.3.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{36}$ è maggiore del lato destro di $- 1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.4

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 12.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(4) - 4}{(4) + 11} \geq \frac{1}{(4) - 1}$

Passaggio 12.4.3

Il lato sinistro di $0$ è minore del lato destro di $0.\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 12.5.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(10) - 4}{(10) + 11} \geq \frac{1}{(10) - 1}$

Passaggio 12.5.3

Il lato sinistro di $0.\overline{285714}$ è maggiore del lato destro di $0.\overline{1}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 11$ Vero

$- 11 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Vero

$1 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Vero

$x < - 11$ Vero

$- 11 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Vero

$1 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Vero

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 11$ o $- 1 \leq x < 1$ o $x \geq 7$

Passaggio 14

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 11) \cup [- 1, 1) \cup [7, \infty)$

Passaggio 15